Математическое моделирование. Динамические и статистические системы, страница 11

          Результат расчета был просто удивительным: он не подтвердил ожидания авторов. Энергия, содержавшаяся первоначально в наинизшей моде, распределилась по нескольким наинизшим модам, после чего снова собиралась в наинизшей моде (с точностью 2 %) и затем процесс приблизительно повторялся. Явление возвращения не могло быть объяснено с помощью теоремы Пуанкаре, согласно которой всякая изолированная система, будучи выведена из состояния равновесия, спустя достаточный промежуток времени возвращается в исходное состояние. В системе из 64 точек это время огромно. Этот фактически первый математический эксперимент сыграл исключительно большую роль. Эстафету ФПУ подхватили Мартин Крускал и Норман Забуски. Они решили осмыслить результаты ФПУ и неожиданно для себя открыли солитон и, выражаясь словами Ньюэлла, «открыли прекрасный новый мир нелинейных явлений, притягивающий сейчас воображение ученых для всех физических дисциплин, мир, который обогатил арсенал математической физики и дал новую жизнь многим классическим математическим структурам».

          Отметим, что указанная работа ФПУ представляет собой исторически первый математический эксперимент.

          Работы советских математиков Андронова, Хайкина и др. в области теории нелинейных колебаний обозначили целый ряд проблем, связанных с устойчивостью движений в нелинейных системах. Классическое математическое наследие Пуанкаре и Ляпунова, дополненное работами Бендиксона, Андронова, Красовского и др., позволило определить критерии при которых функционирование системы является простым, динамически предопределенным.

          Одновременно стало ясно, что вид решения сильно зависит от управляющих параметров системы и при определенных их значениях малейшие возмущения приводят к неустойчивости и появлению бифуркаций. Бифуркация, образно говоря, представляет ветвление решения. Наглядно бифуркацию можно представить следующим образом.

         Представим себе вертикально закрепленную балку, нагружаемую сверху. При некотором значении критической нагрузки она изогнется в ту или иную сторону. Можно только определенно сказать, что изгиб произойдет вдоль по направлению оси, относительно которой момент инерции меньше, но в какую именно сторону – сказать определенно нельзя.

         Если движение системы задано дифференциальным уравнением, то можно указать критерий в соответствии с которым точка бифуркации может быть определена, а таким образом и определено движение системы.

          Рассмотрим пример из области динамики колебательных процессов. Пусть  – есть вектор - функция, определяющая поле скоростей величины , где m – управляющий параметр. Если  есть особая точка системы, то посредством разложения вектор-функции в окрестности особой точки получим уравнение динамики системы ее в окрестности.

                                                              ,                                                        (*)

где  – матрица коэффициентов системы. Найдем решение системы в виде , где  – векторная амплитуда. После подстановки в исходное уравнение придем к характеристическому уравнению, определяющему собственные значения чисел . В двумерном случае, мы получаем два значения , .