Колебания атомов в твердом теле. Фононы, их взаимодействие с другими квазичастицами

Раздел 4. Колебания атомов в твердом теле. Фононы, их взаимодействие с другими квазичастицами.

Лекция 7. Динамика кристаллической решётки. Фононы.

Типы связей в кристаллах – металлическая, валентная и ионная связи. Гармоническое приближение, эффекты ангармонизма. Модель одномерной цепочки, закон дисперсии, поперечные и продольные колебания. Понятие фонона как квазичастицы. Двухатомная линейная цепочка. Акустические и оптические фононы. Локальные фононы в кристаллах с дефектами, поверхностные и интерфейсные колебания.

В разделе 2 мы узнали, что атомы в кристаллах расположены упорядоченно. Чтобы сместить атомы из положения равновесия, необходимо усилие – к кристаллу необходимо приложить механические напряжения (сжатие, сдвиг, кручение). Какими же силами удерживаются атомы в кристалле? Как уже отмечалось, в твёрдом теле из всех видов взаимодействия играет роль только одно – электромагнитное. В классической физике известно, что система зарядов, удерживаемая электростатическим взаимодействием не устойчива, одноимённые заряды разлетятся на бесконечность, разноимённые соединятся (известная теорема Ирншоу [1.5]). Таким образом, без привлечения квантово-механического подхода невозмлжно объяснить устойчивость кристаллической структуры.

Рассмотрим кристалл металла. Ионные остовы заряжены положительно и занимают свои места в кристаллической решётке. Свободные электроны не локализованы и также занимают всё пространство кристалла. Электроны не покидают кристалл из-за кулоновского притяжения к положительным ионам остова, чтобы его преодолеть, они должны обладать энергией выше некоторого порога. Весьма упрощённо говоря, эта сила не даёт кристаллу «расползтись». Какая же сила не даёт кристаллу сжаться? Согласно известному принципу запрета Паули [1.7], на каждом уровне энергии может находиться не более 2-х электронов (с различными спинами). Следствием из данного принципа является, что, свободные электроны (а электроны проводимости в металле практически свободны) занимают (при нулевой температуре) объём фазового пространства пропорциональный , где - максимальный импульс электрона. При уменьшении объёма кристалла (сжатии) число свободных электронов не меняется, значит и объём фазового пространства должен оставаться постоянным, значит растёт импульс электронов, а значит и их кинетическая энергия. Таким образом сжатие энергетически невыгодно кристаллу, появляется сила упругости, противодействующая сжатию. Вышеописанную связь называют металлическая связь. При сдвиговых механических напряжениях, объем меняется слабо, поэтому металлы как правило ковки (то есть могут менять форму при механических воздействиях, практически не меняя объем). Вообще, изменение в энергии системы нескольких заряженных тел, возникающее вследствие запрета Паули, иногда приписывают действию «квантово-механических сил», суть которых происходит из обменного взаимодействия [1.7].

Рассмотрим теперь (противоположный по свойствам) металлам ионный кристалл. В нём (при нулевой температуре) нет свободных электронов. Электроны с внешней оболочки одного атома перешли на внешнюю оболочку другого атома, заполнив её. Первый атом образует положительно заряженный ион (катион, так как, будучи подвижным, он бы притягивался бы к отрицательно заряженному катоду). Второй атом образует отрицательно заряженный ион – анион. Классический пример ионного кристалла – поваренная соль Na⁺Cl^-. Кулоновское взаимодействие разноимённо заряженных ионов связывает кристалл, а какая сила удерживает его от коллапса – сближения всех ионов? Природа этой силы та же, что и в кристалле металла. Каждый ион имеет ковалентный радиус, чем он меньше, тем более локализованы электронные облака, а согласно принципу неопределённости , чем более локализован электрон, тем больше его неопределённость импульса (и сам импульс), а значит, и больше его кинетическая энергия. Поэтому, ионам энергетически невыгодно сближаться не некоторое расстояние, сравнимое с их ковалентным радиусом. Так как в ионных кристаллах электроны сильно локализованы на ионах, то, как правило они хорошие диэлектрики.

Большинство полупроводников (как и самый распространённый из них – кремний) относятся к кристаллам с валентной связью. Валентная связь по своим свойствам нечто среднее между металлической и ионной связями. Валентные электроны образуют связь и уже не строго локализованы на одном атоме, но и не «размазаны» по всему кристаллу. Валентные связи характеризуются чёткой угловой направленностью (например, по тетраэдрическим углам, как в кремнии, германии и в полупроводниках типа AIIIBV). Поэтому, обычно полупроводники и диэлектрики  хрупки (в отличие от металлов). Связь в полупроводниках типа AIIIBV валентна, но с некоторой «примесью» ионной составляющей. Связано это с различной электроотрицательностью (то есть со свойством отдавать либо принимать электрон) элементов 3 и 5 групп таблицы Менделеева. Например, галлий, как металл легче отдаёт электроны, чем мышьяк, поэтому электронные облака валентных электронов в GaAs немного смещены в сторону мышьяка. Мышьяк имеет некий эффективный отрицательный заряд (в результате As – анион), галлий такой же по модулю положительный заряд (Ga – катион). Следует отметить, что, так как электронное облако лишь частично смещено, а не строго локализовано на ионе, то эффективный заряд может быть дробным.