Анализ волновых движений в океане. Уравнения геофизической гидродинамики с учетом турбулентности. Пограничные слои в океане, страница 6

Подчеркнутые члены отвечают за турбулентные потоки импульса и тепла. Можно строить бесконечную цепочку уравнений для моментов, но где-то эту цепочку нужно обрывать. Поэтому решили выразить осредненные потоки через среднее движение. Таким образом, потоки импульса и тепла, обусловленного мелкомасштабным движением, похожи на потоки импульса и тепла, полученные при изучении членов молекулярной вязкости. Вопрос, который является чрезвычайно сложным, состоит в следующем: как определить эти напряжения и потоки тепла? Можно построить уравнения относительно этих моментов, комбинируя уравнения для , , ,  и осредняя их. Получаются уравнения для нахождения , , ,  и так далее. Но в правых частях этих уравнений уже будут стоять третьи моменты вида . Получается бесконечная последовательность уравнений для моментов все более высокого порядка, которые в случае исследования общей циркуляции атмосферы и океана реализовать невозможно.

Простейшее и наименее обоснованное замыкание для определения турбулентных потоков импульса и тепла через средние величины будем проводить, используя гипотезы называемые гипотезами Ричардсона.

Обозначим

 - единичные орты осей координат.

Гипотезы замыкания имеют вид:

где  - горизонтальная турбулентная вязкость,  - вертикальная турбулентная вязкость, ,  - соответствующие коэффициенту диффузии в уравнении притока тепла.

Тогда, пренебрегая членами с молекулярной вязкостью и диффузией, уравнения принимают следующий вид

                    (6.5)

Доказать справедливость этих гипотез на основе физических рассуждений невозможно. Это весьма грубые приближения, однако, в глобальных моделях они используются из-за простоты и удобства реализации. Характерные значения турбулентной вязкости и теплопроводности в океане оцениваются следующим образом (Озмидов [8])

6.2. Анализ безразмерных параметров.

Обозначим . Используя введенные гипотезы и опуская в дальнейшем все черты над величинами, записываем уравнения (6.5) в следующем виде

(6.6)

(6.7)

(6.8)

(6.9)

где ,  - коэффициент термического расширения, , - вертикальный орт.

Введем безразмерные переменные

и безразмерные числа

·  число Россби: , (описывает вклад в уравнения членов: ускорение/Кориолис),

·  числа Экмана:  - вертикальное,  - горизонтальное, (описывают вклад в уравнения членов: турбулентная вязкость/Кориолис),

·  числа Пекле:  - вертикальное,  - горизонтальное (описывают вклад в уравнения притока тепла турбулентной диффузии),

здесь  - угловая скорость вращения Земли,  - характерная скорость движения,  - горизонтальный масштаб,  - вертикальный масштаб. Считаем, что , . Умножив уравнение (6.6) на , а уравнение (6.9) на , получим систему уравнений в безразмерных переменных. Штрихи в дальнейшем опускаем. Таким образом, уравнения принимают вид

,              (6.10)

,                                          (6.11)

,                                           (6.12)

,                  (6.13)

здесь . Покажем, что безразмерные числа , , , ,  являются малыми величинами.

Рассмотрим характерные значения для океана

 - в центре океана.

При таких значениях характерных величин

,

,

,

,

.

Малые параметры имеют следующий физический смысл (см. рис. 6.7)

 - толщина бокового вязного пограничного слоя трения,

 - толщина инерционного пограничного слоя (невязкий слой),

 - толщина экмановского пограничного слоя,

 - глубина термоклина (термическое взаимодействие атмосферы и океана),

 - боковой пограничный слой диффузии плотности.

Рис. 6.7.

6.3. Геострофическое приближение

Если в уравнениях (6.10) - (6.13) отбросить все малые члены, то получим следующую систему уравнений

,                                           (6.14)

,                                                       (6.15)

,                                           (6.16)

,                                                        (6.17)