Другие предметы \ Геофизическая гидродинамика

Анализ волновых движений в океане. Уравнения геофизической гидродинамики с учетом турбулентности. Пограничные слои в океане, страница 12

Исходная система (7.29), (7.30) может быть записана в виде

(7.31)

Здесь , - функции от , . Н.П.Фофонов (1958) предложил рассмотреть линейную зависимость вида . На -плоскости - линейная функция широты, тогда

. (7.32)

Решение ищется в области

Граничные условия:

Тогда уравнение (7.32) примет вид

, (7.33)

где , .

Введем безразмерные переменные , , . В терминах этих переменных уравнение (7.33) примет вид

, (7.34)

где , знак соответствует тому, что течение направлено на запад, а знак - на восток.

Граничные условия перепишутся в виде:

Будем рассматривать наиболее содержательно случай когда (западное течение). Опуская штрихи получим

. (7.35)

Тогда решение уравнения (7.15) ищется в виде:

- частное решение неоднородного уравнения,

- общее решение однородного,

- общее решение неоднородного уравнения.

Нужно теперь ввести зависимость по и удовлетворить граничным условиям. Ищем решение в виде , где . Путем разложения в ряд Фурье определяем коэффициенты , удовлетворяя граничным условиям. Общее решение задачи запишется в виде

. (7.36)

Вид решения (7.36) неконструктивен с точки зрения физического анализа, поскольку содержит малые члены, которые могут быть отброшены, упрощая выражение. В самом деле, если , , , тогда .

Способ нахождения приближенного решения (7.35) основан на теории пограничных слоев и асимптотических разложений. На основе наших оценок будем считать, что , тогда можем осуществлять асимптотическое разложение по малому параметру . Итак, рассматриваем уравнение (7.35)

(7.37)

при граничных условиях:

Решение будем искать в виде , где - решение редуцированного уравнения , а - функции, описывающие пограничные слои. Они нужны для того, чтобы обеспечить выполнение граничных условий:

Решения в погранслоях , ищутся в виде асимптотических разложений , с сохранением только первых слагаемых. Здесь - общее обозначение для .

Так как вся неоднородность задачи заключена в решении , то для нахождения функций погранслоев будем решать однородные уравнения

. (7.38)

1) Рассматриваем уравнение вблизи границы . Вводим в погранслое быструю переменную , (она быстро меняется на малом отрезке ). Тогда

. (7.39)

Подставляем это в уравнение (7.38) и приравниваем члены при одинаковых степенях . Для получаем уравнение

, (7.40)

при граничных условиях

Общее решение имеет вид

где константы и находятся из граничных условий. Тогда , . В результате

. (7.41)

2) Найдем решение в окрестности границы . По аналогии с вариантом 1) вводим быструю переменную у правой границы . Решение ищем в виде асимптотического разложения . Тогда для выполняется уравнение