Анализ волновых движений в океане. Уравнения геофизической гидродинамики с учетом турбулентности. Пограничные слои в океане, страница 11

7.2.2. Западный вязкий пограничный слой. Задача Стомелла.

Особенность соотношений Свердрупа состоит в том, что полученные по ним линии тока, описывающие расход масс не являются замкнутыми и оканчиваются на западной границе океана.

Однако эта сложность достаточно легко разрешается. В идеализированной постановке эта задача была решена Г.Стоммелом в 1948 году. Основная идея состоит в том, что уравнение (7.20) содержит члены трения, способные сформировать у западного берега океана пограничное течение, компенсирующее поток массы на юг в средних широтах и снимающие парадокс соотношения Свердрупа с незамкнутыми изолиниями функции тока и замкнуть их. Возникающее при этом направленное на север пограничное течение является аналогом мощных струйных течений Гольфстрима и Куросио, существующие в западных частях Атлантического и Тихого океана.

Рассмотрим задачу (7.20) в бассейне прямоугольной формы со сторонами  по  и  по . Полагая процесс стационарным и пренебрегая турбулентной вязкостью , получим

.                                        (7.26)

Значения параметров выбираем следующими

Частное решение (7.17) имеет вид

.

Общее решение ищем методом разделения переменных:

,

где , а для нахождения  решается характеристическое уравнение

с корнями

Общее решение запишется в виде

.

Находя значения  и  из граничных условий ,  и подставляя эти значения в формулу общего решения, получим

,                         (7.27)

где , .

Рис. 7.9. Картина значений функции тока.

Если подставлять в решение (7.27) численные значения параметров задачи (7.26), получим несимметричную картину по  с пограничным слоем у границы  и распределением в соответствии с соотношением Свердрупа внутри области. Полученный пограничный слой является вязким пограничным слоем, но у западного берега возникает он вследствие  - эффекта. В приближении - плоскости, т.е. когда  мы получаем абсолютно симметричную картину относительно линии .Этот пограничный слой описывает, как уже указывалось механизм формирования течений Гольфстрим в Атлантическом океане и хорошо описывается сложными климатическими моделями динамики океана.

7.3. Инерционный пограничный слой (Свободная инерционная мода Фофонова)

Решение Г. Стоммелом проблемы формирования Гольфстрима выдвинуло новые вопросы, связанные с поведением течения Гольфстрим в Атлантике после отрыва от континентального склона Американского континента на широте . Измерения, проведенные  в центральной части океана показали парадоксальное поведение  течения  на северной периферии субтропического круговорота. Измерениями были обнаружено направление некоторых южных ветвей Гольфстрима, аномальным образом на запад. Эти ветви течения были названы «рецеркуляцией» Гольфстрима. Анализ, проведенный геофизиком- океанографом Н.П.Фофоновым в 1954 году показал, что этот эффект является следствием взаимодействия вязкого западного пограничного слоя и инерционного пограничного слоя, представленных нами в разделе 6.2. у северной границы субтропического круговорота.

Для выделения эффекта формирования инерционной моды в течениях рассмотрим простейший случай, когда глубина постоянна и жидкость баротропна (, ), и течение предполагается стационарным. Тогда уравнения движения жидкости, проинтегрированные по вертикали от поверхности  до дна ,  в декартовой системе координат можно записать так:

                                        (7.28)

где первые два уравнения - это уравнения движения, спроектированные на оси  и  соответственно, а третье – это уравнение неразрывности. Здесь , .

Запишем систему (7.28) в форме Громеки-Лэмба

,                                                           (7.29)

,                                                           (7.30)

где ,  - абсолютный вихрь,  - относительный вихрь. Далее, так как изменения уровня  малы, то уравнение неразрывности перепишется в виде . Значит, можно ввести функцию тока , удовлетворяющую равенствам  и , тогда  и , .