Оцінювання параметрів і перевірка статистичних гіпотез у випадку вибірок малого об’єму. Моделювання зростання прибутку фірми. Визначення оптимальної поліноміальної регресії, страница 24

Необхідно:

1 Скласти рівняння лінійної регресії. Невідомі коефіцієнти оцінити методом найменших квадратів. Перевірити, що сума відхилень дорівнює нулю. Обчислити коефіцієнт детермінації.

2 Оцінити середній ріст прибутку фірми за рік.

3 Визначити найкращу функцію регресії методом характерних середніх з дев'яти можливих функцій.

4 Для встановленої залежності росту прибутку від номера року методом найменших квадратів визначити оцінки невідомих параметрів. Обчислити коефіцієнт детермінації оптимальної функції регресії.

5 Зробити оцінку величини прибутку через 3,5 роки з початку роботи.

6 За допомогою побудованих лінійної і оптимальної регресії спрогнозувати величину прибутку на кінець поточного і середину наступного років.

Розв’язання

1 Рівняння лінійної регресії, що характеризує залежність прибутку Y фірми від часу t шукаємо у вигляді

Y=a₀+a₁t+u, (2.1)

де а₀ і a₁ – невідомі коефіцієнти, u – випадковий член, що враховує дію на Y різних факторів (основні фонди, витрати праці і т. п.), помилки в даних, помилки округлень і т. д.

Слідуючи методу найменших квадратів (МНК) для знаходження оцінок (наближених значень) і невідомих параметрів а₀ і a₁скористаємося системою рівнянь

(2.2)

Обчислюємо вказані тут суми. Маємо n=9,

=45, =285, =10165, =1788,4.

Тоді вказана система рівнянь приймає вигляд

Розв’язуємо отриману систему рівнянь. Для цього помножимо перше рівняння на 5 і віднімемо друге рівняння. Маємо

Тепер, підставляючи отримане значення в перше рівняння, знаходимо

Таким чином , і рівняння шуканої лінійної регресії (2.1) приймає вигляд

Y=96,81+20,38t+u.

Для перевірки правильності обчислень знайдемо значення для t=1, 2,..., 9 і переконаємося, що =0, де відхилення . Дані обчислень помістимо в табл. 2.2.

Таблиця 2.2

t
1	121,5	117,19	4,31	18,58	5961,56
2	142,4	137,57	4,83	23,33	3170,94
3	159,1	157,95	1,15	1,32	1569,04
4	173,6	178,33	-4,73	22,37	630,57
5	190,9	198,71	-7,81	61,00	61,01
6	212,2	219,09	-6,89	47,47	181,95
7	237,8	239,47	-1,67	2,79	1527,94
8	263,4	259,85	3,55	12,60	4184,65
9	287,5	280,23	7,27	52,85	7883,46
	1788,4	1788,39	0	242,31	25171,13

У цьому випадку , що свідчить про правильність обчислень.

Коефіцієнт детермінації будемо обчислювати за допомогою формули

(2.3)

де ‑ середнє арифметичне елементів вибірки . обчислюється за формулою , маємо

Використовуючи данні табл. 2.2 знаходимо

Обчислення коефіцієнту детермінації дають:

2 Оцінимо середнє ріст прибутку фірми за рік. Вона дорівнює

, (2.4)

тобто

3 У цьому випадку прибуток фірми зростає з часом. При моделюванні монотонних процесів може бути використана одна з дев'яти функцій регресії, що залежать від двох параметрів. Вид функції визначається характером середніх (арифметична, геометрична або гармонійна) за часом t і прибутком Y_t.

Середнє арифметичне чисел обчислюється за формулою