Рассмотрим равномерно заряженную бесконечно длинную нить. Линейная плотность заряда равна t.
Заряд, равномерно распределённый по нити, обладает симметрией – он симметричен относительно оси.
Нить имеет бесконечную
длину, поэтому любому эле-ментарному заряду dq1 можно
сопоставить другой элементарный заряд dq2, расположенный
симметрично относительно некоторой точки в электростатическом поле.
Поскольку расстояние от эле-ментарных зарядов до этой точки одинаково, модули напряжён-ностей Е1 и Е2 одинаковы. Поэтому результирующая напряжённость
Е = Е1+Е2 направлена перпен-дикулярно нити (см. рисунок).
Очевидно, что и в других точ-ках, расположенных на таком же расстоянии от нити, напря-жённость будет иметь такую же величину и направление.
Элементарные заряды и точка в поле были выбраны случайно, поэтому вывод справедлив как для всех остальных элементарных зарядов, так и для всех точек поля.
Это означает, что электрическое поле, созданное заряженной нитью, симметрично относительно оси нити. Другими словами – симметрия поля тождественна симметрии заряда, создающего поле.
Таким образом, векторы напряжённости во всех точках окружающего пространства перпендикулярны нити и модули напряжённости на одинаковых расстояниях от нити одинаковы.
|
|
Расчёт напряжённости поля с помощью теоремы Гаусса следует начинать с получения выражения для потока вектора Е.
В свою очередь, выражение для потока следует начинать с выбора формы замкнутой поверхности и её положения относительно источника поля.
Расчёт потока будет максимально прост, если выбрать такую поверхность, симметрия которой идентична симметрии создаю-щего поле заряда.
В данном случае удобно пользоваться замкнутой поверхностью с осевой симметрией.
Такой поверхностью является цилиндр, ось которого совпадает с нитью. Пусть высота цилиндра равна l, а радиус основания – r.
Поток вектора напряжённости поля, созданного нитью, складывается из потока через торцевые поверхности цилиндра и потока через боковую поверхность.
Поток через торцевые поверхности равен нулю, так как векторы напряжённости перпендикулярны нити и, соответ-ственно угол между векторами Е и n равен 900,
.
Поток через боковую поверхность
.
Поскольку все точки боковой поверхности расположены на одинаковых расстояниях от нити, модули напряжённости во всех точках боковой поверхности цилиндра одинаковы, т. е.
.
Таков вид выражения для потока вектора рассчитываемой напряжённости.
Следующий этап вычисления напряжённости электро-статического поля – расчёт суммарного заряда, охваченного замкнутой поверхностью.
Заряд, охваченный поверхностью s, можно найти так:
.
Тогда, по теореме Гаусса,
или
.
Отсюда
.
Таким образом, напряжённость электрического поля, создан-ного равномерно заряженной нитью, прямо пропорциональна линейной плотности заряда нити и обратно пропорциональна расстоянию от нити до интересующей нас точки.
Обратите внимание – напряжённость обратно пропорцио-нальна первой степени расстояния от нити (напряжённость поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда).
Пусть имеется бесконечная равномерно заряженная плоскость. Поверхностная плотность заряда равна s.
Из симметрии системы следует, что поле должно быть симметричным относительно плоскости (это можно доказать примерно так же, как в предыдущем примере). Следовательно, вектор Е везде перпендикулярен плоскости и в одинаково удалённых от плоскости точках модули вектора Е одинаковы.
В этом случае в качестве поверхности интегрирования целесообразно выбрать цилиндр, ориентированный так, как показано на рисунке.
|
|
Поток вектора Е и здесь складывается из потока через боковую поверхность цилиндра и потока через торцы цилиндра: Ф = Фбок + 2Фторц.
Поток вектора напряжённости через боковую поверхность равен нулю, так как в силу симметрии поля вектор напряжённости дол-жен быть параллелен боковой поверхности и
.
Поток вектора напряжённости
через торцевые поверхности 
, где r – радиус
основания цилиндра.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
