Билинейные формы в вещественном линейном пространстве. Матрица билинейной формы и ее преобразование при изменении базиса. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов методом Якоби. Закон инерции квадратичной формы. Ранг квадратичной формы

Линейная алгебра.

1.  Билинейные формы в вещественном линейном пространстве. Матрица билинейной формы и ее преобразование при изменении базиса.

Def: Линейная функция: В линейном пространстве L над полем R задана линейная функция (линейная форма), если каждому вектору х Î L поставлено в соответствие число f(x) так, что при этом выполняется следующее: 1) f(x+y)=f(x)+f(y); 2)f(λx)=λf(x)

Def: А(x;y) называется билинейной формой от векторов x,y Î L(вещ.лин.пр-ва), если

1)  При фиксированных y A(x;y) – есть линейная функция от х;

a.  A(x₁+x₂;y)=A(x₁;y)+A(x₂;y)

b.  A(λx;y)=λA(x;y)

2)  При фиксированных х A(x;y) – есть линейная функция от у

a.  А(х;у₁+у₂)=А(х;у₁)+А(х;у₂)

b.  А(x;λy)=λA(x;y)

Def: Линейная форма называется симметрической, если для все x,yÎL выполняется: A(x;y)=A(y;x) (Скалярное произведение в Евкл. Пространстве является примером симметрической формы).

Выберем в линейном пространстве L базис e₁,e₂,…,e_n и выразим билинейную форму через координаты α_i и β_i векторов x,y соответственно в этом базисе. Тогда. Где a_ij=A(e_i;e_j). Тогда. Где матрица – матрица билинейной формы A(x;y) в базисе e₁,...,e_n

Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса.

Пусть в n-мерном пространстве даны 2 базиса e₁,...,e_n и f₁,...,f_n и векторы f выражаются через векторы e с координатами с_ij. Тогда матрица С=[с_ij] (i,j=1..n) – матрица перехода от базиса e к базису f. С-невырожденная, С^-1 – матрица перехода от f к e. Пусть А=[a_ik] – матрица билинейной формы в базисе е, а B=[b_ik] – матрица той же билинейной формы, но в базисе f. Найдем по матрице А матрицу В.. То есть B=C^TAC.

2.  Квадратичные формы Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

Def: Пусть А(х;у) – симметрическая билинейная форма. Функция А(х;х), которая получается их а(х;у) путем подстановки y=x называется квадратичной формой. При этом А(х;у) называется билинейной формой, полярной к А(х;х). Таким образом каждой симметрической билинейной форме соответствует одна квадратичная форма. Справедливо и обратное. При заданном базисе всякая квадратичная форма выражается формулой:, где a_ik – значение билинейной формы A(e_i;e_k).

Def: Квадратичная форма называется положительно определенной, если для  x≠0 A(x;x)>0.

Пусть А(х;х) – положительно определенная квадратичная форма, а А(х;у) ее полярная форма. Тогда: 1) А(х;у)=A(y;x) 2)A(x₁+x₂;y)=A(x₁;y)+A(x₂;y) 3)A(λx;y)=λA(x;y) 4)A(x;x)=0 ó x=0;

Приведение к сумме квадратов методом Лагранжа.

Покажем как привести квадратичную форму к сумме квадратов, т.е. выбрать такой базис в котором квадратичная форма имеет наиболее простой(канонический) вид. А именно:. [Смысл заключается в поочередном выделении полных квадратов вида (a²+2ab+b²) и сворачивании их в (a+b)², а потом замене на другую переменную.

Теорема: Пусть в n-мерном вещественном пространстве L задана произвольная квадратичная форма А(х;х). Тогда в L  базис e₁,...,e_n, в котором эта квадратичная форма примет канонический вид. Доказательство: вытекает из самого метода Лагранжа.

3.  Приведение квадратичной формы к сумме квадратов методом Якоби.

В отличие от метода Лагранжа мы получим формулы, выражающие искомый базис e через базис f сразу. Пусть мы имеем симметричную форму А(х;у) с матрицей А=||a_ij||=||A(f_i;f_j)||. Предположим, что все главные миноры А отличны от нуля(1).(Δ₁≠0,...,Δ_n≠0) Необходимо найти базис e, в котором (2) А(ei;ek)=0 при i≠k. Процесс, с помощью которого это будет сделано напоминает процесс ортогонализации, где в качестве скалярного произведения (х,у) будет выбрано А(х;у). Будем искать векторы e_i в виде: e_i=α_i1f₁ + α_i2f₂+...+α_inf_n. Заметим, что если A(e_k;f_i)=0, i=1..k-1, то A(e_i,e_k)=0. Наша задача свелась к нахождению коэффициентов α_ki(i=1..k). Т.е. чтобы вектор e_k­ удовлетворял условию (4) A(e_k;f_i)=0; Этим условиям удовлетворяет вектор ek  с точностью до постоянного множителя, который мы зафиксируем условием (5) A(e_k;e_k)=1. Подставив соотношения 4,5 в выражения для e_k получим СЛАУ относительно α_ki. Определитель этой системы равен Δk и по условию отличен от нуля. Поэтому решение системы существет и единственно. Таким образом задача нахождения вектора e_k нами решена для k ; Теперь найдем матрицу В=[b_ik], которые b_ik=A(e_i;e_k) в новом базисе e₁,...,e_n. Во первых, по построению A(ei;ek)=0 при i≠k. Вычислим диагональные элементы  b_kk. b_kk=α_kk, где α_kk – решения СЛАУ, которые находятся по формуле α = Δ_k-1/Δ_k.

Теорема 1.  базис e₁,...,e_n в котором А(х;у) записывается в виде суммы квадратов следующим образом(7):, где α₁,...,α_n координаты вектора в базисе e₁,...,e_n.

Теорема 2. Число отрицательных коэффициентов при квадратах координат в каноническом виде 7 квадратичной формы равно числу перемен знака в последовательности определителей Δ₀,...,Δ_n .

4.  Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Определители Грамма.

Критерий Сильвестра.

Пусть А(х;у) – симметричная билинейная форма и f₁,...,f_n – базис n-мерного вещественного пространства L. Для того, чтобы квадратичная форма А(х;х) была положительно определена ó главные миноры были положительны.