Билинейные формы в вещественном линейном пространстве. Матрица билинейной формы и ее преобразование при изменении базиса. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов методом Якоби. Закон инерции квадратичной формы. Ранг квадратичной формы, страница 6

Определение. Оператор  называется сопряженным к линейному оператору А, если.

Свойства операции:

1)  ;
Доказательство.

2)  ;

3)  ;

4)  ;

5)  .

13. Основные свойства самосопряженных операторов.

Определение. Линейный оператор А называется самосопряженным или эрмитовым, если.

Утверждения.

1)  Для того, чтобы линейный оператор А был эрмитовым необходимо и достаточно, чтобы соответствующая ему билинейная форма была эрмитовой:.
Доказательство.
Необходимость.;
Достаточность.

2)  Всякий линейный оператор А может быть записан в виде.

Замечание. Пусть А и В – самосопряженные линейные операторы. Для того, чтобы оператор АВ был самосопряженным необходимо и достаточно, чтобы АВ=ВА, т.е. чтобы линейные операторы А и В были перестановочными.

Лемма 1. Собственные значения самосопряженного линейного оператора вещественные.

Доказательство. Пусть х – собственный вектор линейного оператора А и  - его собственное значение:

Лемма 2. – самосопряженный линейный оператор, а е – его собственный вектор. Тогда совокупность  есть (n-1)-мерное подпространство, инвариантное относительно линейного оператора А.

Доказательство. Х, как ортогональное дополнение к  есть (n-1)-мерное подпространство в Х. Покажем, что это подпространство инвариантно относительно оператора А:.

Теорема 1. Для любого самосопряженного линейного оператора  в n-мерном унитарном пространстве существует n попарно ортогональных собственных векторов, соответствующие им собственные значения вещественны.

Доказательство.  В Х существует хотя бы собственный вектор  линейного оператора А. По лемме 2 совокупность векторов ортогональных  образует (n-1)-мерное инвариантное подпространство. Будем рассматривать линейный оператор. Продолжая этот процесс, мы получим в результате n попарно ортогональных собственных векторов. Согласно лемме 1, соответствующие собственные значения вещественны.

Теорема 2. А – самосопряженный линейный оператор в n-мерном унитарном пространстве, тогда существует ортогональный базис, в котором матрица линейного оператора А диагональна и вещественно. Верно и обратное.

Доказательство.

Необходимость. Выберем в качестве базиса построенные при доказательстве теоремы 1 собственные векторы  и пронормируем их. В этом базисе матрица оператора имеет вид: (1).

Достаточность. Пусть матрица оператора А в ортонормированном базисе имеет вид (1). Итак, в ортонормированном базисе матрица  получается из матрицы линейного оператора А транспонированием и заменой каждого элемента комплексным сопряжением. Проделав эти операции над матрицей вида (1), где все  - вещественные, мы получим ту же матрицу, следовательно А и  соответствует одна и та же матрица, т.е..

Теорема 3. Собственные векторы самосопряженного оператора, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Доказательство. Пусть у линейного оператора А имеются

Определение. Матрица  называется эрмитовой, если.

Теорема 4. Для того, чтобы линейный оператор А был самосопряженным необходимо и достаточно, чтобы  его матрица была эрмитовой.

Теорема 5. Пусть в n-мерном унитарном пространстве Х задана эрмитова билинейная форма. Тогда в Х существует ортонормированный базис, в котором соответствующая билинейная квадратичная форма, записывается в виде: - координаты Х.

Доказательство. Пусть  - эрмитова билинейная форма, т.е.. Тогда существует самосопряженный линейный оператор А такой, что. Выберем в качестве базиса Х ортонормированную систему собственных векторов самосопряженного линейного оператора А (по теореме 1). Тогда.

.

14. Унитарные операторы и их свойства.

Определение. Линейный оператор U называется унитарным, если.

Утверждения.

1)  Всякий унитарный оператор U в унитарном пространстве сохраняет скалярное произведение. Всякий линейный оператор U, сохраняющий скалярное произведение, унитарен.
Доказательство.
Необходимость..
Достаточность.

2)  Унитарный оператор не меняет длину векторов.
Доказательство. Заменим условие унитарности линейного оператора в матричном виде: выберем ортогональный базис  в Х и построим линейный оператор U в этом базисе: (1). (2).
Вывод. (3). Условие  эквивалентно ортонормированности строк матрицы унитарного оператора. Условие  (4) эквивалентно ортонормированности строк матрицы унитарного оператора.