Билинейные формы в вещественном линейном пространстве. Матрица билинейной формы и ее преобразование при изменении базиса. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов методом Якоби. Закон инерции квадратичной формы. Ранг квадратичной формы, страница 17

Определение. Пусть даны квадратичная матрица А размерностью  и функция  скалярного аргумента. Распространим  на матричное значение аргумента. Если, то функция от матрицы приобретает вид.

Теорема Гамильтона. Пусть  - минимальный многочлен. Разложим его на множители  (1), где  - все различные собственные значения матрицы А. Степень же   чисел  (2) будем называть значениями функции  на спектре матрицы А. Очевидно, чтобы значения функции  на спектре матрицы А полностью определяют, т.е. все функции, имеющие одни и те же значения на спектре матрицы А имели одно и то же матричное значение. Т.о. для определения  в общем случае достаточно найти многочлен, который принимал бы те же значения на спектре матрицы А, что и, и положить, что.

Определение. Если функция  определена на спектре матрицы А, то, где  - любой многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и, т.е..Среди всех многочленов с комплексными коэффициентами, принимающих те же значения на спектре, что и, существует единственный многочлен, степень которого меньше m. Этот многочлен однозначно определяется интерполирующими условиями:

(3) – интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.

Определение. Пусть функция, определена на спектре матрицы А, а  - соответствующий интерполяционный многочлен. Тогда.

Замечание. Получили, что если  матрицы А не имеет кратных корней (матрица простой структуры) и в равенстве (1), то для того, чтобы  имело смысл достаточно, чтобы  была определена в точках, если же все  имеют кратные корни, то в некоторых точках соотношения (2) должны быть определены и производные до известного порядка.

Свойства функций от матриц:

1)  Если  - собственные числа матрицы А n-ого порядка, то  - собственные числа матрицы.

2)  Если матрицы А и В подобны, т.е., то матрицы  и  также подобны, причем.
Доказательство. Пусть. Покажем, что, используя метод математической индукции. Для k=1, это очевидно. Пусть это верно и для k=m. Докажем, что это верно и для

3)   k=m+1. Действительно,. Тогда..
Т.о. две подобные матрицы имеют одинаковые минимальные многочлены и аналогично  принимает одни и те же значение как на спектре матрицы А так и на спектре матрицы В. Поэтому существует интерполяционный многочлен.

4)  Пусть А – квазидиагональная матрица, тогда.
Доказательство. Обозначим через  интерполяционный многочлен функции  на спектре матрицы  А.
 (5). Минимальный многочлен  является аннулирующим многочленом для матрицы, поэтому из равенства. Поэтому  и.

Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра. Пусть  - минимальный многочлен матрицы А,. - степень. Представим   является правильной дробью в виде суммы дробей: (6), где  - некоторые числа. Для определения числителя простой дроби умножим обе части (6) на  (7), где  - рациональная функция, не обращающаяся в бесконечность при. Обозначим через.  (8)

Формулы (8) показывают, что числители  в правой части (6) выражаются через значения многочлена  на спектре матрицы А, а эти значения нам известны. А именно, они равны соответственным значения функции  и ее производной: (9’). После того, как все найдены, мы определим  по следующей формуле, которая получается умножением обеих частей равенства (6) на:  (10). Заметим, что в соотношении  (10) выражение в квадратных скобках в силу (9’) равно сумме первых  членов разложения Тейлора по степеням  для.

Основная формула. Вернемся к (10). Подставив в нее (9’) для коэффициентов  и объединив члены, содержащие одно и тоже значение  и какой-либо ее производной, представим  в виде  (11), где  - полином  степени меньшей степени. Эти полиномы определяются заданием  и не зависит от выбора функции. Число этих полиномов равно числу значений  на спектре матрицы А и равно m, где m – степень минимального многочлена. Из формулы (10) следует основная формула для нахождения функции от матрицы, а именно: (12), матрицы  являются компонентами матрицы А. Они вполне определяются заданием матрицы А и не зависят от выбора функции. В правой части формулы (12), функция   представлена только своими значениями на спектре матрицы А.