Определение.
Будем называть m-плоскость, определяемую точками - m-плоскостью
.
Определение. Если m=n-1, то такая плоскость называется гиперплоскостью или просто плоскостью.
Если мы умножим обе части уравнения (1) на
вектор u, перпендикулярный всем, то
т.к.
, мы получим уравнение (4):
, или
, или
.
Определение.
Вектор u ортогональный ко всем направляющим векторам и, следовательно, ко всем векторам,
направленным по плоскости, называется вектором нормали.
Пусть - ортонормированный
базис в n-мерном аффинном пространстве, тогда х можно разложить
по этому базису:
. Тогда (4) можно
записать, как
(5).
Уравнение плоскости по точке и вектору нормали. Если задана точка и
вектор нормали u, то т.к.
удовлетворяет уравнению (4),
мы получаем, что
.
Уравнение плоскости по точке и направляющим векторам. Если задана точка и ее
направляющие векторы
, то уравнение плоскости будет:
(8).
Уравнение плоскости по n точкам. Пусть даны n точек, при
этом
линейно независимы. Тогда уравнение
плоскости будет иметь вид:
(9).
Теорема. Если
заданы n+1 точек, то необходимым и
достаточным условие того, что точки
лежат на одной
плоскости является линейная зависимость векторов
.
Доказательство.
Необходимость.
Если точки лежат на одной плоскости, то n
векторов
, являющиеся линейными комбинациями n-1 направляющего
вектора
, линейно зависимы.
Достаточность.
Если эти векторы линейно зависимы, то существует вектор u, перпендикулярный
всем этим векторам, и все эти точки лежат на плоскости с
уравнением (4), проходящей через точку
,
ортогональной вектору u. Формально принадлежность n+1 одной точки к
плоскости записывают в виде равенства нулю определителя:
(10)/
Определение. Углом между двумя плоскостями называется тот из углов между векторами нормали этих
плоскостей, который. Угол
между
плоскостями с векторами нормали u и v находится по формуле:
(11).
22. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями.
Определение. Будем называть расстоянием от точки до плоскости минимальное расстояние от данной точки до точек m-плоскости.
Т.к. минимальное расстояние от данной точки до точек всякой прямой, лежащей на m-плоскости, является расстоянием от данной точки до основания перпендикуляра, опущенного из нее на прямую. Расстояние от точки до m-плоскости равно расстоянию от этой точки до основания перпендикуляра, опущенного из нее на m-плоскость.
Найдем расстояние от точки до
плоскости, заданной уравнением
(4). Уравнение
перпендикуляра, опущенного из точки
на плоскость имеет вид:
(12). Подставим (12) в (4):
.
(13).
Т.к. расстояние
от точки
до
произвольной точки плоскости равно
(14). В
частности расстояние до плоскости от начала системы равно
(15). Когда вектор нормали
единичный, формулу (14) можно записать, как
(14’),
а (15):
(15’). В случае, когда
вектор нормали единичный, абсолютная величина свободного члена в (4)
равна расстоянию до плоскости.
Утверждение. Поскольку
у параллельных плоскостей могут быть выбраны одни и те же направляющие векторы, то векторы нормали параллельных
плоскостей коллинеарны. Расстояния от всех точек одной из двух параллельных
плоскостей до другой из этих плоскостей равны. Действительно, расстояние от
произвольной точки
к плоскости, проведенной через
точку
параллельно данной плоскости (4) с
направляющими векторами
, в силу (14) равно
. Т.е. равно расстоянию
от точки
до той
же плоскости.
Определение. Будем называть число, равно этим расстояниям, расстоянием между двумя параллельными плоскостями.
Если уравнения двух плоскостей записаны в виде: (17), то расстояние между ними равно
расстоянию от точки
, лежащей на второй плоскости до
первой. В силу соотношения (14), это расстояние равно
, но т.к. точка
лежит
на второй плоскости, то вектор
удовлетворяет уравнению
этой плоскости, т.е.
. Получаем:
(18).
23. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с классификацией возможных типов типов в случае δ≠0
Зафиксируем на плоскости прямоугольную
систему координат и рассмотрим общее уравнение второй степени.(1)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.