Билинейные формы в вещественном линейном пространстве. Матрица билинейной формы и ее преобразование при изменении базиса. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов методом Якоби. Закон инерции квадратичной формы. Ранг квадратичной формы, страница 11

Определение. Будем называть m-плоскость, определяемую точками  - m-плоскостью.

Определение. Если m=n-1, то такая плоскость называется гиперплоскостью или просто плоскостью.

Если мы умножим обе части уравнения (1) на вектор u, перпендикулярный всем, то т.к., мы получим уравнение (4):, или, или.

Определение. Вектор u ортогональный ко всем направляющим векторам  и, следовательно, ко всем векторам, направленным по плоскости, называется вектором нормали.

Пусть  - ортонормированный базис в n-мерном аффинном пространстве, тогда х можно разложить по этому базису:. Тогда (4) можно записать, как  (5).

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали. Если задана точка  и вектор нормали u, то т.к. удовлетворяет уравнению (4), мы получаем, что.

Уравнение плоскости по точке и направляющим векторам. Если задана точка  и ее направляющие векторы, то уравнение плоскости будет: (8).

Уравнение плоскости по n точкам. Пусть даны n точек, при этом  линейно независимы. Тогда уравнение плоскости будет иметь вид: (9).

Теорема. Если заданы n+1 точек, то необходимым и достаточным условие того, что точки  лежат на одной плоскости является линейная зависимость векторов.

Доказательство.

Необходимость. Если точки  лежат на одной плоскости, то n векторов, являющиеся линейными комбинациями n-1 направляющего вектора, линейно зависимы.

Достаточность. Если эти векторы линейно зависимы, то существует вектор u, перпендикулярный всем этим векторам, и все эти точки  лежат на плоскости с уравнением (4), проходящей через точку, ортогональной вектору u. Формально принадлежность n+1 одной точки к плоскости записывают в виде равенства нулю определителя: (10)/

Определение. Углом между двумя плоскостями называется тот из углов между векторами нормали этих плоскостей, который. Угол  между плоскостями с векторами нормали u и v находится по формуле: (11).

22. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями.

Определение. Будем называть расстоянием от точки до плоскости минимальное расстояние от данной точки до точек m-плоскости.

Т.к. минимальное расстояние от данной точки до точек всякой прямой, лежащей на m-плоскости, является расстоянием от данной точки до основания перпендикуляра, опущенного из нее на прямую. Расстояние от точки до m-плоскости равно расстоянию от этой точки до основания перпендикуляра, опущенного из нее на m-плоскость.

Найдем расстояние от точки  до плоскости, заданной уравнением  (4). Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки  на плоскость имеет вид: (12). Подставим (12) в (4):. (13). Т.к. расстояние  от точки  до произвольной точки плоскости равно  (14). В частности расстояние до плоскости от начала системы равно  (15). Когда вектор нормали единичный, формулу (14) можно записать, как  (14’), а (15): (15’). В случае, когда вектор нормали единичный, абсолютная величина свободного члена в (4) равна расстоянию до плоскости.

Утверждение. Поскольку у параллельных плоскостей могут быть выбраны одни и те же направляющие векторы, то векторы нормали параллельных плоскостей коллинеарны. Расстояния от всех точек одной из двух параллельных плоскостей до другой из этих плоскостей равны. Действительно, расстояние от произвольной точки  к плоскости, проведенной через точку  параллельно данной плоскости (4) с направляющими векторами, в силу (14) равно. Т.е. равно расстоянию  от точки  до той же плоскости.

Определение. Будем называть число, равно этим расстояниям, расстоянием между двумя параллельными плоскостями.

Если уравнения двух плоскостей записаны в виде: (17), то расстояние между ними равно расстоянию от точки, лежащей на второй плоскости до первой. В силу соотношения (14), это расстояние равно, но т.к. точка  лежит на второй плоскости, то вектор удовлетворяет уравнению этой плоскости, т.е.. Получаем: (18).

23. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с классификацией возможных типов типов в случае δ≠0

Зафиксируем на плоскости прямоугольную систему координат и рассмотрим общее уравнение второй степени.(1)