Задание по Геометрии и алгебре на тему «Евклидовы пространства»

Министерство Образования Российской Федерации

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра Прикладной Математики

Задание по Геометрии и алгебре
на тему «Евклидовы пространства»

Факультет:            ПМИ

Группа:                 ПМ-63

Студент:                Тишков И.В.

Вариант:                21

Преподаватель:    Бобылева Д.И.

Новосибирск 2006 

 Задача 1

Выпишем векторы, которые образуют подпространство L. Пусть это будут векторы:

   

Наклонная (заданный вектор x) определим, как:

Мы знаем, что трехмерное пространство  единственным образом представимо в виде суммы  и . По определению ортогональной суммы вектор  Т.к. L порождают линейно независимые векторы , то . Линейная независимость векторов  очевидна. Из всего выше сказанного следует, что . Т.к. , то по определению ортогональных множеств это означает, что  Подставим значение h:

Найдем коэффициенты :

С помощью выше описанных формул найдем :

Теперь вычислим длины векторов :

Проверим ортогональность векторов :

По формуле  найдем угол между наклонной x и подпространством L:

.

Задача 2

Выберем из заданной системы векторов базис:

Так как векторы базиса неортогональны, ортагонализуем их с помощью процедуры Грама-Шмидта. Полагаем, что , причем . Найдем :

 

Теперь базис подпространства L составляют ортогональные вектора . Найдем теперь вектора , так чтобы все вышеперечисленные вектора были попарно ортогональны, т.о. мы обеспечим их линейную независимость. Вектор  мы найдем из условий:

Пусть вектор . Составим СЛАУ:

Т.к.  - свободные члены, то выберем для них значения равные 2 (). Найдем оставшиеся координаты:

Получили, что . Проверим полученный вектор на попарную ортогональность:

Теперь таким же образом найдем и . Для него должно выполняться:

Решим СЛАУ:

Найдем коэффициенты:

Получили вектор . Теперь проверим его:

Итак ортогональный базис пространства  составляют: