Инвариантные подпространства
Пусть .
Определение. Подпространство
L линейного
пространства X называется инвариантным
относительно оператора A, если .
Каждый линейный оператор имеет по крайней мере два тривиальных инвариантных подпространства – нулевое (только из нулевого вектора) и все пространство X. Образ и ядро линейного оператора также являются инвариантными подпространствами.
Знание
какого-либо инвариантного подпространства позволяет построить базис, в котором
матрица оператора имеет более простой вид. Действительно, пусть оператор A имеет в n-мерном
пространстве X инвариантное
подпространство L размерности m. Выберем базис в L и дополним его до базиса всего
пространства X векторами
. Построим матицу оператора A в полученном
базисе. Поскольку
принадлежат L, будем иметь:
Отсюда следует, что матрица оператора A в базисе
клеточная:
, (1)
где - квадратная матрица порядка m,
– квадратная матрица порядка n-m, O – нулевая
матрица размеров
,
- матрица размеров
.
Предположим
теперь, что пространство X разложено в прямую сумму инвариантных
подпространств L и M. Выберем базис в X таким образом, чтобы его первые m векторов
принадлежали L, а остальные
векторов принадлежали M. В этом случае
образы
можно разложить – лишь по векторам
, а образы
лишь по векторам
. Матрица
в соотношении (1), очевидно, будет нулевой. Поэтому
матрица
в рассматриваемом базисе будет иметь еще более
простой вид:
.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.