Оценивание числовых характеристик и параметров распределения случайных объектов (Раздел 5 учебного пособия "Статистические методы обработки экспериментальных данных")

5. оценивание числовых характеристик и параметров распределения случайных объектов

Закон распределения в любой его форме является исчерпывающей характеристикой вероятностного поведения случайного объекта (величины, вектора, функции). Поскольку задача его определения достаточно сложна, на практике часто определяются лишь числовые характеристики, основными из которых являются математическое ожидание и дисперсия. Для случайных  векторов характеристикой рассеяния является корреляционная матрица.

Следует отметить, что решение такой более упрощённой задачи имеет большую практическую ценность, так как во многих случаях знать закон распределения не требуется. Кроме того, часто на основе каких-то априорных предположений вид закона распределения исследуемого случайного объекта известен и для его полного описания достаточно определить лишь параметры.

Как уже отмечалось, задача оценивания параметров распределения, в частности  числовых  характеристик, сводится к отысканию таких статистик (функций случайной выборки), которые могут служить наилучшими в каком-то смысле оценками истинных значений параметров. Все рассматриваемые оценки должны проверяться на наличие у них основных необходимых свойств: несмещённости, состоятельности и эффективности.

5.1. Оценивание математического ожидания случайной величины

Пусть имеется случайная величина , математическое ожидание которой  неизвестно. Над случайной величиной проведено n независимых опытов (наблюдений). По их результатам   x₁,  x₂,…, x_n  требуется найти состоятельную, несмещённую и эффективную оценку  параметра , т.е. найти функцию

                                 .

В качестве оценки математического ожидания (среднего значения) случайной величины  могут приниматься различные характеристики случайной выборки. Все общие методы статистического оценивания дают в качестве наилучшей точечной оценки математического ожидания случайной величины её статистическое среднее. Однако при нахождении оценки математического ожидания, удовлетворяющей требованиям состоятельности, несмещённости и эффективности, следует различать равноточные и неравноточные наблюдения (однородные и неоднородные опыты).

5.1.1. Равноточные наблюдения

Статистическое (выборочное) среднее или статистическое математическое ожидание случайной величины находится по формуле

                                 .   (5.1.1)

Поскольку наблюдения равноточны, то случайные величины  по существу представляют собой «экземпляры» одной и той же случайной величины  и, следовательно, имеют один и тот же закон распределения с числовыми характеристиками:

                       ;     ,   .

Покажем, что оценка  удовлетворяет всем трём общим требованиям.

1. Из выражения (5.1.1) следует, что

                         .

Таким образом,  является несмещённой оценкой параметра .

2. Согласно теореме Чебышева среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины сходится по вероятности к её математическому ожиданию

                                       .

Следовательно, статистическое среднее  есть состоятельная оценка параметра .

3. Согласно выражению (5.1.1) дисперсия статистического среднего

                                                                                    (5.1.2)

с ростом объёма n выборки неограниченно убывает и, следовательно,  асимптотически эффективная оценка . Доказано, что если случайная величина  подчинена нормальному закону распределения, то при любых n дисперсия (5.1.2) будет минимально возможной. В таком случае  является эффективной оценкой математического ожидания .

Следовательно,  – это подходящее значение :

                                          .             (5.1.3)

П р и м е р 5.1. В условиях примера 4.1 найти оценку математического ожидания случайной величины .

▼ Согласно формуле (5.1.3)

Случайная выборка, приведённая в табл.4.3, была получена при наблюдении случайной величины , математическое ожидание которой  Сравнительно невысокая точность полученной оценки обусловлена малым объёмом выборки, но ни в коей мере не способом её вычисления.                                                                                                    ▲

Если объём n выборки достаточно велик, то вычисления по формуле (5.1.3) оказываются громоздкими. Задачу можно упростить, если использовать данные интервального вариационного ряда, т.е. полагать

                                                   ,                      (5.1.4)

где  – представитель (середина) l-го разряда вариационного ряда;  – частота попадания вариантов x_i случайной величины  в l-й разряд.

Значение оценки , определяемое по формуле (5.1.4), оказывается приближённым, однако с ростом n (а, следовательно, и r) точность данной формулы возрастает.

П р и м е р 5.2. В условиях примера 4.2 найти приближённое значение оценки  математического ожидания  случайной величины .

▼ Используем данные табл.4.7. По формуле (5.1.4) получим

                                        ,