Конечно-элементные аппроксимации высшего порядка

Глава 4

4.2. Степень многочленов и скорость сходимости 155

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЕ АППРОКСиМАции ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

4.1. Введение

В предыдущих главах читатель познакомился с методами ап проксимации базисными функциями, которые либо задавались одним аналитическим выражением на всей области, как в гл. 2, либо определялись поэлемевтно с помощью простейших локаль ных функций (гл. З). В действительности в последнем случае использовались только линейные и билинейные многочленьт, ве дущие к самым простым видам конечных элементов. В этой главе будет изучена возможность использования более сложных базис ных функций, также определенных на конечном элементе (т. е. локально).

Причина введения таких базисных функций высших степеней состоит в желании получить более точную аппроксимацию реше ния рассматриваемой задачи. При применении использовавшихся до сих пор простых конечных элементов уточнить решение можно только с помощью последовательного измельчения сетки. С дру гой стороны, повышение точности приближения может быть до стигнуто последовательным повышением степени базисных функ ций (при фиксированной сетке конечных элементов).

С практической точки зрения очевидно, что наилучшим будет выбор, доставляющий максимальную точность при наименьших вычислительных затратах. Предваряя последующую дискуссию, отметим, что в этом отношении нам более эффективными пред ставляются, вообще говоря, аппроксимации высших степеней (хотя фактический оптимум существенно зависит от конкретной задачи).

В первой части этой главы на основе многочленньТх аппро ксимаций предлагается ряд одномерных элементов высших стене ней. Устанавливается, что существуют различные способы пост роения базисных функций, составленных из многочленоВ одной и той же степени и дающих, таким образом, один и тот же по рядок аппроксимации. В этом плане обсуждаются так называе мые иерархические формы, когда функции высших степеней по следовательно получаются с помощью добавлен и я соответствуюiцн х слагаемых. Такие формулировки, как правило, оказываются на иболее эффективными в вычислительном отношении.

Во второй части главы эти построения используются для по лучения дву- и трехмерных многочленных базисных функций высших степеней в случае геометрически простых областей.

4.2. Степень многочленов, составляющих базисные функции, и скорость сходимости

Вопрос о порядке погрешности метода был затронут в гл. 1 в связи с аппроксимацией конечными разностями. Однако он бо лее не поднимался в гл. 2 и З, где были введены методы, осно ванные на базисных функциях. Применительно к таким аппрок симациям упоминалось только, что сходимость будет иметь место при условии достаточной полноты системы базисных функций, позволяющей им с любой степенью точности аппроксимировать неизвестную функцию н ее производные, входящие в формули ровку задачи. Причина такого упрощения состояла единственно в том, что в этих главах рассматривался широкий спектр систем базисных функций и получение общей оценки скорости сходи- мости было затруднительным. Если же ограничиться только мно гочленными аппроксимациями (хотя бы локально определенными), то обсуждать вопросы сходимости и полноты будет значительно легче.

Рассмотрим область , которая разбивается на конечные эле менты е с характерным размером Ii, и предположим, что мно жество базисных функций, определенных на каждой элементарной подобласти, содержит любой многочлен степени р.

Отсюда непосредственно следует, что если неизвестная функ ция (или функции) сама является многочленом степени не вы ше р, то аппроксимация должна давать точный ответ незави симо от использованного типа взвешивания.

Обычно решение р не является в точности многочленом. Однако если решение не имеет особых точек, где некоторые или все его производные обращаются в бесконечность, то ( можно ло кально разложить в ряд Тейлора. Например, в случае двух не зависимых переменных в окрестности некоторой точки О элемента можно записать

р(Ах, ду)=ч

(4.1)

где Ах и Лу—разности между координатами рассматриваемой точки и точки О. Если теперь используется аппроксимирующий многочлен степени р, то он точно воспроизводится соответству ющим отрезком ряда Тейлора. Тогда внутри элемента размера ! для максимальной погрешности аппроксимации Е имеем

(4.2)

4.3. Кусочное тестирование 157

156 Гл. 4. Конечно-элементные аппроксимации высшего порядка

поскольку величины дх и ду в точках элемента не превосхолят

I

Аналогично аппроксимация первой производной будет и точность О (/11 а приближение производной порядка будет осу ществляться с точностью О (!1Р

Приведенный выше результат чрезвычайно важен не только для объяснения того факта, почему многочленьт высокой степени дают большую точность приближения, но также и для обоснова ния необходимых условий полноты, которые должны выполняться при использовании любого из методов взвешенных невязок.