Конечно-элементные аппроксимации высшего порядка, страница 12

Следует отметить, что в этом случае при р З число иерар хических функций, соответствующих узлам на сторонах элемента, недостаточно для определения полного многочлена степени р и требуются внутренние иерархические функции, тождественно рав ные нулю на границах; например, при р=З можно было исполь зовать функцию Е тогда как при р = 4 можно было ввести три дополнительные функции Ё Е Е

На рис. 4.15 показаны типичные иерархические линейная, квадратичная и кубическая базисные функции для треугольного элемента. Аналогичные иерархические базисные функции можно получить, исходя из альтернативной системы одномерных базис НЫХ функций, определенных равенствами (4.28).

2

б

182 Гл. 4. Конечно-элементные аппроксимации высшего порядка

4.9. Заключительные замечания 183

Рис. 4.15. Треугольные элементы и ассоциируемые с ними иерархиче ские базисные функции линейного (а), квадратичного (б) и кубическо го (в) вида.

4.8. Трехмерные базисные функции

Развитые в этой главе общие процедурыдля одномерных и дву- мерных элементов легко приспо собить для трехмерных элемен тов в виде правильных шести гранников или четьтрехгранников. Опять могут быть получены стан дартные или иерархические бази сные функции. Единственная де таль, которой получение таких функций незначительно отличает ся от предшествующего анализа, состоит в необходимости введения переменных для граней помимо пе ременных для ребер и элемента. На рис. 4.16 показаны типичные трехмерные элементы серендыпова семейства. Читатель может попрак тиковаться в нахождении соответ ствующих базисных функций эле ментов, решив упражнения в кон це этой главы.

В этой главе было показано, как непосредственно получить

базисные функции высших степеней для геометрически простых элементов. В частности, внимание читателя было привлечено к иера рхическим формам, которые обладают важными достоинствами простоты и вычислительной легкости. По этой причине читателю еще придется столкнуться в дальнейшем (в конечно-элементных программах) с такими формами.

Очевидно, что для элементов фиксированного вида при после довательном возрастании степени многочлена р будет иметь место сходимость (р-сходимость). Однако отнюдь не ясно, будет ли эта сходимость быстрее, чем получаемая для элементов фиксирован ной степени при последовательном уменьшении величины и (!i-схо димость). Недавние исследования показывают, что если сравнение производится при общем числе неизвестных параметров М, то скорость р-сходимости всегда выше. Этот факт может быть уста новлен из рассмотрения некоторых приведенных выше примеров,

Рис. 4.16. Стандартные трехмерные серендиповы элементы квадратичного (а) п кубического (б) вида.

по его формальное доказательство представляется затруднитель

ным 1).

На практике всегда необходим компромисс, поскольку малые элементы могут быть необходимы для моделирования границ и н еоднородностей задачи. Таким образом, оптимальным выбором часто являются многочленьт второй и третьей степени.

Упражнения

4.13. Повторить упражнение 3.13, используя а) четыре квадратных серен. :1!iтЮВьтХ квадратичнь элемента и б) четыре квадратных иерархических квад.

гнч ных элемента.

4.14. В упражнении 3.13 вычислить матрицы элемента для а) лаграиже. в кубического элемента и б) иерархического кубического элемента.

4.15. Решить задачу кручения из примера 1.5, исследуя четвертую часть с1чения с двумя равными иерархическими квадратичными элементами.

4.16. Найти базисные функции для стандартного квадратичного элемента. Повторить задачу кручения из примера 1.5, используя сетку, состоящую из дiзух таких элементов. (Указание. Можно использовать формулу

/           ] К       I!.i!К   2

4.17. Пусть в упражнении 3.18 элементы 1 и 4 рассматриваются как квадратичные треугольные элементы, тогда как элементы 2 и 4 заменяются ( квадратичнЬ серендицовым элементом. Составить резул ьтирующую систему уравнений для аппроксимации стационарного распределения темпера туры.