1) на каждом элементе аппроксимация р есть линейная фун кция от х;
2) коэффициент а при базисной функции ЛТ в разложенiiн (4.5) для представляет собой просто аппроксимацию значения р в узле 1.
Межэлементная С разложения для также автома тически гарантирована, поскольку сами базисные функции явля ются С
Этот процесс можно продолжить и получить базисные функ ции высших степеней на типичном одномерном элементе. для изображенного на рис. 4.2, 6 элемента с тремя узлами возможно представление р с помощью квадратичных базисных функций, ассоциируемых с каждым из узлов этого элемента. Если требует ся, чтобы базисная функция элемента, ассоциируемая с конкрет ным узлом, принимала значение единицы в этом узле и нуль в двух других узлах элемента, то приведенное выше условие 2 остается выполненным. для такого элемента точное расположение дополнительного узла несущественно, и сразу видно, что ассоци ируемая с этим дополнительным узлом базисная функция явля ется внутренней по отношению к элементу и не распространяется на смежные элементы. Получаемое на следующем шаге обобщение показано на рис. 4.2, в, где изображены элемент с четырьмя уз лами п соответствующие ему кубические базисные функции.
В общем случае аппроксимация на элементе с р + 1 узлами будет сводиться к многочлену степени р. На таком элементе, узлы которого с номерами от О до р помещены в точки х х х . . ., х х, ассоциируемая с узлом 1 базисная функция эле менга Л’ будет многочленом степени р, принимающим значение нуль во всех других узлах элемента. Тогда выражение для такой базисной функции можно записать в виде
Н +о (4.8)
где неизвестные коэффициенты являются решением системы уравнений
х=х ЛТ = с ... +с = О,
х = х дТ = с’ + 1 + 2 ф... + с = О,
х = х == + х, + 2 +... + = 1, (4.9)
х=х
4.4. Стандартные базисные функции высших степеней 161
мированную локальную координату из (4.11), находим
— с1А 1 — 2 .‚ДТ —
с/х ‘/ ‚ — не ‘ 2 ‘
и, следовательно, можно записать
В свою очередь это позволяет теперь вычислить приведенные матрицы элемента е, изображенного на рис. 4.2, для линейных, квадратичных и кубических базисных функций. При этом полу чаются следующие результаты (детали мы оставляем читателю):
Для линейной базисной функции
1 !i 1 iiеПГ
1 7+ ё+
е — 1
—I 1 н
[ +- р
Здесь матрица тождественна полученной в примере 3.1. Для кна дратичной базисной функции
2/ 8 не
3/ + 15 зне + 15
160 Гл. 4. Конечно-элементные аппроксимации высшего порядка
Однако в достаточно трудоемком решении этой системы нет необ ходимости, поскольку проста я проверка показЬвает, что многочлен
лт {(х—х (х—х (Х—х (х—х
х {(х (х . .. (х (х ... (х (4.10)
имеет требуемые свойства. Этот многочлен Л известен как фун даментальный многочлен Лагранжа [ степени р.
Используя это определение, можно выписать базисные функ ции элемента для изображенных на рис. 4.2 линейньтх, квадра тичньтх и кубических элементов. При использовании на лементе равноотстоящих узлов и показанной на рисунке нумерации ба зисные функции можно выразить через нормированную локальную координату элемента , определенную равенством
=2(Х_Х (4.11)
Здесь х центра элемента, iiе_ элемента, и элемент принадлежит отрезку Нетрудно получить выражения для базисных функций элемента, а именно:
Линейные базисные функции (рис. 4.2, а)
АТ ДТ (4.12а)
Квадратичные базисные функции (рис. 4.2, 6)
= =—( 1 (4.126)
Куоические базисные функции (рис. 4.2, в)
= — (9/16) ( + 1/3) ( 1 (а— 1),
412
в)
А’ ( 1) ( 1/3) (
Чтобы продемонстрировать использование таких базисных функций высших степеней, снова обратимся к решению задачи, рассмотренной в примере 3.1.
Пример 4.1. Требуется решить уравнение 2ср/с1х с краевыми условиями ч = О при х = О и р = 1 при х = 1.
Если применяется метод Галеркина, то компоненты матрицы элемента ке, как и в примере 3.1, задаются выражением
дте йне
+Ат
Используя базисные функции элемента, выраженные через нор-
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.