Конечно-элементные аппроксимации высшего порядка, страница 7

Как было от выше, оптимальной формой иерархических функций будет та, которая приводит к диагональной системе

4.5. Иерархические формы высших степеней 169

—        йА, йАГ ‚ — 2           4 2

‚ — - —а х — , - — .

ре        -i

Если могут быть найдены системы базисных функций, содержа щих соответствующие многочленьт, для которых такие интегральт обращаются в нуль при 1 т, то требуемая ортогональность до стигнута и система алгебраических уравнений распадается.

Примером такой системы многочленов, обладающей свойством ортогональности на отрезке —1 1, является множество мно гочленов Лежандра Р ( и базисные функции могут быть вы ражены через интегральт от этих многочленов. Многочлен Ле жандра степени р определен формулой

Р __ [ I)Р].      (4.27)

Взяв интеграл от этого многочлена при р— 1, 2, 3, 4, находим

ЛТ iУ

=(1/4)(15        (4.28)

Эти базисные функции отличаются от функций (4.24) до ДТ вклю чительно только постоянными множителями, но для р 4 раз личие становится значительным. Читатель может легко проверить ортогональность производных этих функций — свойство весьма по лезное при вычислениях. Графики этих функций ы их производных приведены на рис. 4.4.

Пример 4.2. Снова рассмотрим задачу, обсуждавшуюся в при мере 4.1, но на этот раз для составления матриц элементов ис пользуем иерархический подход. Применим базисные функции, заданные формулами (4.28), и еще раз воспользуемся выражением для матриц элементов

/           е          е

ке

ип        ‘i         2

для различных степеней аппроксимации получаем следующие

соотношения:

Линейная

168 Гл. 4. Конечно-элементные аппроксимации высшего порядка

уравнений. В ряде случаев это можно осуществить или точно, или с хорошим приближением.

Во многих обсуждавшихся в предыдущих главах задачах ком. поненты матрицы элемента ке имели вид

,Iлеменлi

УЗЛЫ О

о          ®

о____

сiЕ;

71

7

й

о/(\)     ;

Рис. 4.4. Почти ортогональные иерархические базисные функции элемента и их производные.

Квадрад

е

Кубическая

г

1          iIе        /Iе ПГ П

—        —        (ро

1          не        не

+т —   (р

16        811е    е

——    —        а)

з          3          1о

11е

з

г 1 не  1 неПг П

—        1          не        1          /           1•

е —

—

1          не        1

/Iе+3   /1е+

—

1          не        1          /           не

—        +-        —-л

/           16        8iiе

з

не        2i         1Г П

—т      -iт

ае

-

О

О         -           а

164      З2 —

1

2i

15

170 Гл. 4. Конечно-элементные айпроксимации высшего порядка

4,6. двумерные базисные функции ВЫСШИХ степеней 171

Заметим теперь, что матрица каждой последующей аппроксима ции содержит матрицы предыдущих аппроксимаций, причем за висимость между ними слабая. (Для данного примера имеет место приближенная ортогональность квадратичной и кубической ап- п рокси маций, однако полной ортогональности здесь нет, поскольку многочлены Лежа iдра обеспечивают, вообще говоря, только орто гональность производных, что проявляется в отсутствии членов вида 1/не во внедиагональных элементах.)

Применяя еще раз общее выражение для нахождения одно- элементного решения задачи (т. е. при / 1), для квадратичной аппроксимации получаем

что дает

(16/3+8/15)а 1/3,

а = 0.05682,

а для кубической аппроксимации

а = 0.05682, а = 0.00403.

Вычисление приближения при х= 1/З и х=2/3 показывает, что достигаемая здесь точность совпадает с полученной в примере 4. 1. В силу сказанного выше необходимо, однако, отметить простоту вычисления матриц и уменьшение влияния точности вычисления последовательных параметров.

Упражнения

4е + +сIсрIсIх оМ + С!( I

а узлы О и 1 находятся в концах элемента. Используя три равных элемента этого типа, получигь как следствие решение упражнения 1.20. (Заметим, что

должно удовлетворять условиям У 1, йМ при =— и      =

= iА’ при = 1, тогда как для М выполняться условия М

с1М 1 при =—1 и М при = 1. Функции А’ и        оп.

ределяются аналогично. Эти требования означают, что базисные функции мо гут быть выражены через многочлены Эрмита.)