Конечно-элементные аппроксимации высшего порядка, страница 13

4.18. Вывести слабую форму уравнения метода взвешенных невязок для описанной в упражнении 1.21 задачи об отклонении однородной тонкой упру. гой пластиньт. Показать, что если решение ищется методом конечных элемен 0В, то стандартная теория требует элементов с С Найти базис.

1) Не исключено, что в столь общей форме последнее утверждение вообще не может быть докаЗано. ред,

— б

2

а          б

б

4.9. Заключительные замечания

184 Гл. 4. Конечно-элементные апгiроксимации высшего порядка

Литература

[ Соп 8. Г ае Воог С. Е1еттiеп пцяiетiсаi апаIу5i5.—2па еа.—ыещ УогI(: МсСiгащ-НiI 1972.

[ Реапо А., 1 1 Ра А., 8агаеiiа 1. Ас1ар арргохiп1а iп iпi еiеiтiепi гпс апаIу$i5._Вег 18МЕ5, 1978.

Рекомендуемая литература

Вес1 Е. В., Сагеу Сi. Г., ОIеп З. Т. Рiпiiе е1еIт1еп Ап Уо 1._Ея СIiГГ5: Ргепiiсе Наи, 1981.

IЗаУiе8 А. З. Тие iпi е1еглеп гвеi1о Сiатепаоп Рге85, 1980.

Ггiеа Т. Т $о1iI о! аiяегеп еЧ УогI(: Аса ттiiс Рге5$, 1979.

Нiп Е. О Ап iп!гоапсiiоп !о Гiпi е1етт согпрi 8’уап$еа: Рiпегiс1 Рге 1979.

iеп1с1е’уiс$ О. С. Тие !iпiiе е1еяiеп аiеПiосi.—Зга е р4сага’у- Нi 1977.

Глава 5

ОТОБРАЖЕНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

5.1. Понятие отображения

5.1.1. Общие замечания

Высокая степень точности, которая может быть достигнута с помощью введенных в предыдущей главе элементов высших степеней, означает, что приемлемые для практических целей ре шения часто могут быть получены при использовании весьма небольшого числа таких элементов. К сожалению, простота форм рассматривавшихся до сих пор элементов несколько ограничивает их применение при анализе практических задач, где часто тре буется моделировать границы весьма сложного вида. Это ограни чение было бы снято, если бы можно было ((отобразитьэ простой элемент типа прямоугольника в локальной системе координат ( т в более сложную фигуру в глобальной системе координат (х, у). Под отображением здесь понимается единственное взаимно однозначное соответствие между координатами ( т и (х, у). Характерные особенности такого преобразования квадратного эле мента приведены на рис. 5.1, где показано, как происходит не прерывное искривление координатных прямых в плоскости ( i

Читатель знаком, например, со связью между полярными и декартовьтми координатами

х=i-созО, у=г (5.1)

Это преобразование является не чем иным, как отображением, переводящим прямоугольник в плоскости (г, О) в область на плоскости (х, у), изображенную на рис. 5.2.

Отображение обычно описывается некоторой функциональной ависимостью между двумя системами координат, которая в общем кiiде может быть выражена Ёак

у=i 11)-

Если взят конкретный вид отображения и для каждого эле мента координаты выбраны таким образом, что происходит их отображение в соприкасаюциеся области, то базисные функции, записаныые для локальной области ( iI) элемента, могут быть использованы для представления изменения функции на элементе в глобальной области (х, у) без нарушения межэлементных тре бованiiй непрерывности.

ные функции элемента для прямоугольного кубического элемента с четырьмя узлами, обеспечивающего гладкость щ, др/дх, д д ду при переходе через границы элемента, и вычислить результирующ}iе матрицы элементов. (Указание. Использовать базисные функции элемента, являющиеся произведе ниями многочленов Эрмита введенного в упражнении 4.12 вида.)

4.19. Повторить упражнение 3.19 для случая линейного треугольного элемента с тремя узлами и сравнить результаты с полученными в разд. 3.8.1. (Можно использовать формулу интегрирования из упражнения 4.16.)

4.20. Найти базисные функции элемента для а) квадратичньгх и кубиче ских трехмерных серендиповых элементов, показанных на рис. 4.16, н б) стан дартных квадратичных и кубических четырехгранных элементов. В случае а) вычислить соответствующие матрицы элементов для трехмерной задачи стационарной теплопроводности.

4.21. Найти иерархические базисные функции элемента для а) квадратич ных и кубических шестигранных элементов и б) квадратичных и кубических четырехгранных элементов. В случае а) вычислить соответствующие матрицы элементов для трехмерной задачи стационарной теплопроводности.

х= i)

(5.2)