Конечно-элементные аппроксимации высшего порядка, страница 10

сторон, получаются из этих выражений простой перестановкой

переменных и . Члены, входящие тогда в аппроксимацию       на

типичном кубическом серендиповом элементе, показа ны в треуголь

нике Паскаля на рис. 4.6, в.

Здесь целесообразно отметить, что число многочленных ком

понент, которые могут быть получены с помощью использования

только граничных узлов, недостаточно, чтобы дать полное много

членное представление для при р 4. Следовательно, для та

ких элементов высших степеней необходимо опять ввести внутрен

ние узлы или просто соответствующую иерархическую степень свободы типа описываемой в следующем разделе.

Рис. 4.10. Иерархические базисные функции для прямоугольного элемента.

4.6.2. Базисные функции иерархичесного типа

При имеющемся наборе одномерньтх иерархических базисных функций генерирование иерархических базисных функций для пря- моугольньтх элементов почти тривиально, поскольку:

1) функции для угловых узлов совпадают со стандартными

2) произведение иерархических функций типа определенных в разд. 4.5.2 и 4.5.3 в угловых узлах всегда равно нулю.

билинейньтми функциями;

Отождествление (или увязывание) значений иерархических пе ременных, ассоциируемьтх с каждой стороной элемента, с теми же самыми значениями на соседнем элементе будет автоматически обеспечивать едитiственность аппроксимации вдоль этой стороны и гарантировать С Приемлемым оказывается любое произведение одномерной иерархической функции с локальной переменной вдоль стороны элемента, скажем , и линейной (или нерархической) функции от другой локальной переменной элемента, скажем т многочленньте компоненты (любой степени) могут быть получены образованием таких простых произведений. Например,

1

-

,

..

,

i

]

используя одномерные функции (4.28), базисные функции для элемента, показанного на рис. 4.10, можно записать следующим образом:

ЛТ тi)==(I/ + (1—     (4.35а)

(2—З) ( ) (1/4) (1 —1-- i) ( 1),          (4.356)

причем этот процесс может быть продолжен до любой нужной

(2—3)( т))=(I/б) (1+т

степени.

Как уже было указано применительно к серендиповым элемен-

там, чтобы получить представление для ре, которое является пол- ным для степени р необходимо добавить базисные функции, ассоциируемые с параметром, не включенным в связи между эле ментами. Например, подходящей оказывается базисная функция

(1/4) ( 1) ( 1),  (4.36)

1

178 Гл. 4. Конечно-элементные аппроксимации высшего порядка

4.7. двумерные базисные функции для треугольников 179

х = Ё + Ё + Ё

у = I + Ё + Ё  (4.37)

1 =I

i = (а + 1З + у)/(2i = (с + i + ‘ = (а + + у)/(2Ле),

= 0.5

которую можно использовать для добавления члена в выра жение для

Следует, между прочим,. отметить, что при использовании иерархических элементов добавлен ие многбчленных компонент очень легко осуществить локально, чтобы добиться уточнения в области, где неизвестная функция изменяется особенно быстро и, следовательно, аппроксимация может давать наибольшие по- гр ешн ости.

Вопрос о введении таких уточнений на конечно-элементной сетке затрагивается в последней главе, где обсуждаются так на зываем ьие процессы адаптивного уточнения.

Ну узлов и иерархических параметров в некоторой логической последовательности представляет интересную вычисли тельную задачу, поскольку обозначение, соответствующее иерар хической степени свободы, может быть ассоциировано как со стороной элемента, так и с самим элементом.

4.7. двумерные базисные функции для треугольников

4.7.1. Стандартные базисные функции; координаты площади 1)

Если рассмотреть семейство треугольников произвольного вида (рис. 4.11) при условии, что узлы располагаются согласно модели треугольника Паскаля (рис. 4.6), т. е. в точках пересечения се мейства прямых, проведенных параллельно сторонам треугольника, то каждый раз число полученных таким образом узлов оказывается как раз достаточным, чтобы генерировать семейство полных мно гочленов. Это обстоятельство в сочетании с простотой достаточно хорошей аппроксимации областей произвольной формы набором треугольников объясняет популярность выбора треугольных эле ментов при решении задач с двумя пространственными переменными.