Конечно-элементные аппроксимации высшего порядка, страница 2

Вернемся к общей задаче из гл. 2, где требовалось решить дифференциальное уравнение вида

с краевыми условиями

А( в на Г

при помощи разложения по базисным функциям

и при использовании уравнения метода взвешенных невязок (а именно уравнения (2.41))

1 i{с

Мы видим, что должна быть обеспечена сходимость при /1 —* О не только р, но и всех производных, входящих в операторы .2’ и Ч. Если порядок таких производных равен й, то очевидно, что минимальная степень членов в отрезке ряда Тейлора, исполь зуемом для записи на каждом элементе, должна быть такой, чтобы получающаяся погрешность имела по крайней мере поря док О (Ii Таким образом, для выполнения требования полноты необходимо, чтобы

р—с1  (4.76)

Только что указанное условие полноты подчеркивает полез- ность обсуждавшейся в § 3.4 слабой формулировки метода взве шенных невязок (а именно формулировки с использованием вы раженi (3.156)). Понижение порядка й используемых операторов

Проведенное в предыдущем параграфе обсуждение непосредст венно ведет к весьма полезному тесту, часто используемому при практическом применении метода конечных элементов для про-

(43)     верки правильности соответствующих формул, возникающих при

составлении конечно-элементных уравнений, или соотношений,

получающихся при реализации этих формул. Если точное реше-

(44)     ние является многочленом степени не выше р и для построе

ния аппроксимапии используется многочлен степени р, то, как

уже было указано в начале предыду

щего параграфа, должно получиться

/4 5’    точное решение. Таким образом, если

на поле конечных элементов нало жить ограничение, потребовав, чтобы узловые значения совпадали со зна чениями точного решения, то уран-

нения метода взвешенных невязок

(4.6)    должны выполняться точно.

Чтобы реализовать такой тест, необходимо просто провести ансамб лирование системы элементов, на которых ассоциируемая с узлом 1 весовая функция Ц? отлична от ну ля, и проверить, что полученное уравнение метода взвешенных

невязок тождественно выполняется. На рис. 4.1 показано поле двумерных элементов, которое может быть использовано для ку соч ного тестирования.

Как правило, кусочное тестирование используют для того, чтобы убедиться в самом факте сходимости. Его можно исполь зовать также для подтверждения предполагаемого порядка схо дгiмости на элементе. Например, чтобы гарантировать погрешность 0 (/12), необходимо задать в узлах значения линейной функции и получить точный результат.

Итак, мы просто требуем, чтобы на ансамблируемых элементах точным решением был многочлен степени р. Наибольшее значение р, для которого это верно, определяет порядок пот решности

О (/iР+

не только уменьшает требования гладкостii, но и снижает мини мальн ую степень многочленных базисных функций, необходи для обеспечения полноты, до порядка производных от ц, ВХОДЯ ЩИХ В слабую формулировку задачи.

4.З Кусочное тестирование

а

= 1

или

Рис. 4.1. Поле ансамблирован ных элементов, которое может быть использовано для кусочно го тестирования в узле 1.

р+1—й           (4.7а)

158 Гл. 4. Конечно-элементные аппрокснмации высшего порядка

4.4. Стандартные базисные функции высших степеней 159

4          —

II —

1          —

Элементы      !-

УЗЛЫ -

-

а

—

не

б

ц

эл;

щ

- ?1

I           /

Злем    ____ ____

iIЗлiы  0          1          2          х

х

н

б

Рис. 4.2. Одномерньте элементы и ассоциируемые с ними стандартные базисные функции: линейные (а), квадратичные (б) и кубические (в).

4.4. Стандартные базисные функции высших степеней для одномерных элементов с С

Рассмотрим систему одномерн ьтх элементов, iiзображенн ую на рис. 4.2. На рис. 4.2, а показан стандартный линейный элемент е с двумя узлами введенного в гл. 2 типа. Здесь предполагается, что два указанных узла занумерованы как О и 1 (во избежание лишних буквенных обозначений). В соответствии с рисунком ас социируем с каждым узлом этого элемента простую линейную ба зисную функцию. Вид таких функций на смежных элементах так же показан на рисунке. Использование таких базисных функций гарантирует, что