г
8 /
1 не
1
16 8I
3/ге + 15
8 /
3/ге + 15
1 неПГ П
8 не
— %
7 2/
+ _
Для кубической базисной функции
Г 37 8Ii
189 Зэне
—-
27 3не
13 19!i°
189 33/
40/ис + 560
54 27!
5не + 70
297 27!Iе
40i 560
27 Зiiе
20 140
297 27/iе
27 3не
Ро
—
Рi
54 27/в
189 33/iе
189 33/
—-
37 8/го
%
—
I
162 Гл. 4. Конечно-элементные аппроксимаиии высшего порядка
В примере 3.1 при решении задачи использовались три линейных конечных элемента. Попытаемся теперь решить задачу, применяя только один элемент, но с базисными функциями в виде много- членов разных степеней.
При не = 1 и заданных значениях = О и = 1 использо вание линейного элемента дает просто линейную интерполяцию и свободных неизвестных для уравнений метода взвешенных не вязок не остается. для квадратичного элемента и заданных зна чений р. = о = 1 имеется один неизвестный параметр р Учиты вая краевые условия, имеем
и, таким образом,
(16/3+ 8/15) р 1/15) ч
= 04432.
При аппроксимации кубическим многочленом появляются два не известных параметра и р и результируюцая система двух уравнений имеет решение
р %=0.6101.
В случае использования квадратичного элемента можно вычислить при х= 1/3 н х=2/3. Сравним полученные результаты.
Три линейных
элемента
Один квадратич-
НЫЙ элемент
Один кубический элемент
Точное
решение
х=1/3
=0.2885
0.2828
0.2889
0.28892
х==2/3
==0.6О98
0.6162
0.6101
0.61024
Отметим, что аппроксимация одним кубическим элементом дает гладкое решение, существенно лучшее, чем получаемое исполь зованием трех линейных элементов.
Рассмотренный пример показывает, что процесс получения матриц элементов для элементов высших степеней не отличается от использовавшегося для линейных элементов. Кроме того, лучшие результаты, как правило, удается получить даже при несколько меньшем числе неизвестных. В данном примере ансамблированюае типичной матрицы для нескольких элементов высших степеней не проводилось, и такое ансамблирование предлагается провести читателю в качестве упражнения—применяемая здесь методика аналогична описанной в предыдущей главе. Однако можно сразу заметить, что внутренние узлы элемента связаны только с Дру гими узлами того же элемента и, следовательно, могут быть
4.5. Иерархические формЫ высших степеней 163
исключены на элементном уровне. Этот факт достаточно полезен при вычислениях, поскольку тогда приведенную матрицу элемента е для элементов высших степеней из данного примера можно
с помощью дополнительных вычислений представить просто как
(2 х 2)-кiатрицу. Чтобы усвоить эту процедуру, читателю реко мендуется решить упражнение 4.3.
Упражнения
4.1. Уравнение
2( йр/1х)/ах+с’р+ =0
решается методом взвешенных невязок с аппроксимацией по Галеркину. Найти матрицу элемента ‚ и правую часть е квадратичного и куби ческого элементов.
42 В упражнении 4.1, производя процесс ансамблирования и для ква дратячного, и для кубического элементов, найти уравнения, получающиеся а) во внутреннем узле элемента и б) в граничном узле элемента.
4.3. Решить задачу из примера 4.1, используя два квадратичных элемента.
а) Ансамблировать матрицы элементов, полученные в примере 4.1, и вычислить решение. б) На элементном уровне выразить значение во внутреннем узле через значения Ро и Рэ в граничных узлах. Как следствие получить новую (2ж2).матрицу элемента, оперирующую только с граничными узловыми значе ниями. Ансамблировать эти новые матрицы элементов и решить полученную систему. Показать, что решение тождественно найденному в п. а).
4.4. Повторить упражнение 4.3, используя два кубических элемента. В п. б) из приведенных матриц элементов исключить два внутренних узла.
4.5. Найти функцию , такую, что является решением уравнения
I й + с + = 0,
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.