Прежде чем переходить к обсуждению деталей, касающихся возмон-сных базисных функций, желательно определить для таких элементов естественнуюэ систему координат. Такая удобная си стема координат I и Ё может быть определена для элемента просто записью линейной зависимости между этими координатами и дека ртовыми координатами в виде
о’
(х
4
Ю 1 6
6 8 4
01 2.3
в
Рис. 4.11. Семейство стандартных тре- Рис. 4.12. Координаты площади
угольных элементов: линейный (а), квад- для треугольного элемента.
ратичный (б) и кубический (в).
Сразу видно, что I должна бЫТЬ функцией, принимающей нулевое значение в вершинах 1 и 2 и значение единица в вер шине О— так же, как базисная функция для линей ного элемента. Линии уровня этой функции показаны на рис. 4.12. Значение Ё в любой точке Р фактически может быть определено как отношение площадей двух треугольников, т. е.
Ё ,. = площадь (Р12)/площадь (012), (4.38)
откуда и следует название <жоординатьт площади» для системы
(Ё Ё Е
Соотношения (4.37) позволяют установить прямую зависимость координат площади (Ё I Е и декартовых координат (х, у), поскольку
(4.39)
где
1 х у
ае 1 х У =плоiцадь (012) (
1 х /2
и
с< =у =х (4.406)
причем следует отметить соответствие с формулами (3.27).
Таким образом, для линейного треугольника с тремя базис ными узлами функции элемента могут быть определены просто как
Аге..._. Г лге_ Г л1е Г
0 о’ 1’
Для треугольника общего вида с размещением узлов, как на рис. 4.13, выражение для базисной функции элемента, ассоции
Здесь узлы с номерами 0, 1, 2 помещены в вершинах треуголь. ника, а (х у координаты узла i.
1) В отечественной литературе используются также термины стреугольные к или барицентрические коордннаты.— Прам. перев.
180 Гл. 4. Конечно аппроксимации высшего порядка
4.7. двумерные базисные функции для треугольников 181
Рис. 4.14. Треугольные элементы и ассоциируе ные с ними стандартные базисные функции ли оейного (а) и квадратич ного (б) вида.
руемой с узлом i и обозначаемой числами I, .1, К в системе координат (I I Е можно записать в виде
л = М (I А (I. Л (Е (4.42)
где М Л л многочлены Лагранжа, опреде ленные равенством (4.10).
Это выражение отнюдь не очевидно. Читатель, однако, может легко проверить его справедливость заметив, что
1) из определения фундамен тальных многочленов Лагранжа следует, что дТ 1 вузлеiиЛ во всех других узлах элемента;
2) так как I+]+К=р для
(р,О,О’)< (О,р,О) данной триангулят-кии постоянно,
то слагаемое наивысшей степени
Рис. 4.13. Стандартный треугольный в Л будет иметь вид Цi и элемент обiдего вида.
поэтому в силу линеиных соотно шений (4.39) является многочле ном степени р от х и у.
На рис. 4.14 показаны Типичные базисные функции этого вида для линейных и квадратичных элементов.
а
1.7.2. Базисные функции нерархического типа
для треугольных элементов иера р хическ не базисные функции
С находятся удивительно просто [
Возвращаясь к рис. 4.12, заметим, что Е вдоль стороны 1—2 греугольника тождественно равна нулю, и, следовательно, в силу уравнений (4.37)
[ 1. (4.43)
Если а—обычная безразмерная локальная координата элемента типа использовавшейся при получении иерархических функций для одномерных элементов, измеряемая вдоль стороны 1—2 (рИс. 4.12), то можно записать
Е Е (4.44)
откуда следует, что
=(Е (4.45)
Это наводит на мысль, что на треугольнике иерархические базис ные функции можно было бы генерировать с помощью обобщения полученных ранее видов одномерньтх базисных функций. Напри мер, используя выражения (4.23), ассоциируем со стороной 1—2
iогочлен степени р ( 2), определенный по правилу
р четно,
(1—2) = (4.46)
1 (—т {(Е (Е (Е + Ё 1], р
Из соотношений (4.44) следует, что эти базисные функции равны нулю в узлах 1 и 2. Кроме того, нетрудно показать, что ЛТ будет все время равна нулю на сторонах треугольника 0—1 и 0—2, и, таким образом, обеспечивается С ап проксимации р.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.