\У
з
Л х У :уХУ - -
,,х у_7Ху — 5
7 у У У У\ 7
б
Степень 1
хУГ_ 2
/\
/ •
—-—х - 2._ху 4
‚\/У\/ \/ \/\
в
Рис. 4.6. а — треугольник Паскаля, где заштриховавные элементы образуют пол ный кубический мн0г0член б — члены, образующие кубический лагранжев эле мент; в — члены, образующие кубический серендипон элемент.
чить, чтобы базисные функции элемента в основном содержали бы только члены, входящие в многочлен соответствующей сте пени. С этой целью было получено семейство так называемых сереядиповых элементов. Здесь узлы размещаются (по мере вОЗ можности) на границах элемента, а базисные функции получа ются умножением членов степени р по одной переменной на ли нейные члены по другой переменной. Тогда на границах вид аппроксIIмации р совпадает с получаемым для лагранжевьТх эле ментов и, таким образом, сохраняется Со-гладкость аппроксимации.
Определим теперь две локальные нормированные координаты
— — — — — — Степень ху
-
/\/\ /\/\
1
а
з
4
1
1
4.6. ДвумернЫе базисные функции ВЫСШИХ степеней 175
174 Гл. 4. Конечно-элементные аппроксимапии высшего порядка
77
__
1 1.е
Ii 2 1
у _____ _____
0 1 2.
771 1 а 1 б м(i-4)(1-
11!,
Iе
е Iiiаг 1
Ус
_______ ______________ 0.5
— Шаг 2
х
Рис. 4.7. Нормированные координаты ( т для прямоугольника в плоскости
(х, у). IIIаг
В
элемента (см. рис. 4.7):
= 2 (х—х ‘1 = 24х/ii Рис. 4.8. Систематическое генерирование серендипонЫх базисных функций для
х’ прямоугольных элементов.
т сiт (4.30)
Чтобы не выписывать отдельное выражение для каждого узла,
где точка (х у элемента в системе координат (х, у). ПОЛОЖИМ — (4.31)
Получение стандартной базисной функции серендипового типа ‘ 1i 11111,
для квадратичного элемента показано на рис. 4.8. Этот процесс
почти не нуждается в пояснениях. Сначала, взяв соответствующий где 1 узла 1. Тогда базисные функции элемента
многочлен Лагранжа второй степени по одному направлению и запишутся следующим образом
умножив его на линейную функцию по другому направлению, Для линейных элеменiпов
непосредственно найдем базисные функции для узлов в серединах (1/4) (1 + ) (1 + 1,) 1 = 0, 1, 2, З, (4.32)
сторон. Это позволяет получить на сторонах многочлен нужной
степени, и автоматически будет выполнено условие, что ассоции- что совпадает с базисными функциями латранЖева элемента пер
руемая с конкретным узлом базисная функция должна принимать вой степени.
значение единица в этом узле и равняться нулю во всех других Для квадратич элементов
узлах.
для углового узла этот простой процесс не дает нужного ре- Угловой узел ЛТ (1/4) (1 + (1 + ( + I 1),
1=0, 2, 4, 6. (4.ЗЗа)
зультата, поскольку вдоль одной из сторон базисная функция
будет отлична от нуля и поэтому в среднем узле этой стороны / (1 + 1=1, (4.336)
будет получаться ненулевое значение. Однако линейная комбина- Узел в сере- 1
ция билинейной базисной функции (3.45) и только что построен- дине стороны (1/2) (1 + (1 _ 1 = 3, 7.
ных для узлов в серединах сторон квадратичных базисных функ- Для кубических- элементов
ций позволяет легко получить необходимую функцию.
Семейство серендиповых элементов показано на рис. 4.9, и Угловой узел Н (1/32) (1 + (1 + ) —10 + 9 ( + i
/=0, 3, 6 9, (4.34а)
ниже приведены базисные функции для первых трех его членов.
176 Гл. 4. Конечно-элементные аппроксимации высшего порядка
4.6. двумеряые базисные функции высших степеней 177
Типичный угловой узел
Типичная сторона 2—3
77
11
6 5 4 987
‘
0 1 0 1 2.
Рис. 4.9. Семейство серендиповых элементов. При р требуются внутренние
параметры.
Узел в сере- дТ = (9/32) (1 + ) (1 112) (1 + 9тi
дине стороны 1=4, 5, 10, 11, (4.346)
причем базисные функции, отвечающие оставшимся средним узлам
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.