Хотя в общем случае добиться строгой диагональности ап проксимирующих уравнений трудно или невозможно, попытаемся по возможности ослабить зависимость между различными этапами аппроксимации. Такой подход в вычислительном отношении пред почтителен, поскольку неизбежно возникающие в процессе реше ния больших задач значительные ошибки округления не будут существенно влиять на качество окончательного решения в силу последовательного уменьшения значимости а,,, с ростом ‘п.
4.5.2. Иерархические многочлейы
Рассмотрим еще раз генерирование базисных функций для элемента общего вида, изображенного на рис. 4.3. Ясно, что ли нейное представление на этом элементе может быть получено только с помощью базисных функций, приведенных на рис. 4.2, а (см. формулы (4.12а)), и не может быть улучшено, поскольку отождествление общих узлов смежных элементов гарантирует С Можно получить иерархическую форму представ ления на этом элементе, используя для модификации линейного п редставлентiя некоторый квадратный многочлен.
Если а представляет эту модификацию и функция IУ от локальной координаты элемента определена как квадратичный многочлен вида
(4. 15а) (4.156)
(4. 15в)
М = 1: К =
(4.14а)
(4.146)
(4.14в)
4.17)
166 Гл. 4. Конечно-элементные аппроксимации высшего порядка
4.5. I4ерархические формЫ высших степеней 167
(4.22)
затрудни-
базисных возможно определя
Базисные НiЩИИ
с коэффициентами, выбранными таким образом, что Щ= О при 1, То требуемая С аппроксимации между эле ментами будет сохранена. Сформулированным условиям удовлет- нор яет симметрнчн ая парабола, соответствующим образом мае штабированная.
дипрохсимации
Злеллентi
б.
+
1)
бический многочлен вида
(4.20)
принимающий нулевое значеi-Iие при = 1 (т. е. в узлах О и 1). 1 Iз бесконечного числа возможностей выберем кубический много- член, изображенный на рис. 4.3, е. Он принимает нулевое значе ние в центре элемента, причем в этой точке йА’ = 1. Можно сразу положить
(4.21)
поскольку такой кубический многочлен обладает требуемыми свой ствами. Теперь параметр а обозначает отклонение наклона в центре элемента от наклона предшествующей ап п роксимаци и.
Отметим, что аналогичным образом можно определить иерар хическую базисную функцию элемента четвертой степени
л
Элемент Узлы
в
0 1
+
® о1
-о
1 0 1
Рис. 4.3. Одномерные элементы и ассоциируемые с ними иерархические базисные функции и аппроксимации: линейная (а), квадратичная (б) и кубическая (а).
Таким образом, для аппроксимации квадратным многочленом на элементе е (рис. 4.3, 6) можно записать
(4.18)
где (см. формулы (4.12а) и (4.126))
А У =—( (4.19)
Нетрудно видеть, что в данном случае параметр а прюбре тает конкретное смысловое значение, а именно равняется вели чине отклонения от линейной аппроксимации в центре эле мента, поскольку в этой точке А’ принимает значение единица.
Аналогично для кубического элемента к квадратичному пред ставлению (4.18) требуется добавить слагаемое а где ЛТ
однако теперь придать физический смысл параметрам тельно (да и в этом и нет особой необходимости).
Как уже было указано, Iiриведенная выше система функций не единственна и существует много других стей, другая удобная система иерархических функций ется равенствами
е 1 (1/р!)( р четно,
Р( (1/р!)( р нечетно, (4.23)
где р ( 2)—степень используемого многочлена [ и iУ же, что и выше—Ред.]. Это дает систему базисных функций эле мента
Дте_ 1/2 2 1) Не_(1/б)(
= (1/24) 1 АТ (1/120) ( (4.24)
Нетрудно видеть, что все производные от Л1 второго и бо лее высоких порядков принимают нулевое значение при =0, за исключением сiРАТ равной в этой точке единице. Следо вательно, при использовании базисных функций вида (4.23) вхо дящие в аппроксимацию параметры можно отождествить со значе ниями соответствующих производных:
а р (4.25)
Такое отождествление придает им физический смысл, но, разуме ется, нiiкоим образом не является обязательным.
4.5.3. Иерархические мноГочлены почти ортогональной формы
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.