Конечно-элементные аппроксимации высшего порядка, страница 5

где iг и се—постоянные. Ансамблировать уравнения метода взвешенных невя зок с аппроксимацией по Галеркину для поля квадратичных элементов и, используя кусочное тестирование, показать, что аппроксимация точна для всех значении О И

4.6. В упражнении 1.2 найти распределение изгибающего момента, исполь зуя сначала два квадратичньюх, а затем два кубических элемента. Сравнить ответы с полученными другими методами в предыдущих главах.

4.7. Снова рассмотреть одномерньюй пример стационарной теплопроводности из упражнения 2.5, используя а) два квадратичных элемента, б) два куби ческих элемента и в) смешанную конечно-элементную пару, состоящую из одного квадратичного и одного кубического элементов. Сравнить полученные в каждом случае ответы с точным решением.

4.5. Иерархические формы высших степеней для одномерных элементов с С

4.5.1. Общие замечания

При введении в гл. З конечно-элементных базисных функций параметры а,,, в разложения (4.5) отождествлялись с узловыми значениями аппроксимации р, т. е. полагалось а В пре-

6*

164 Гл. 4. Конечно-элементные аппроксимации высшего порядка

4.5. Иерархические фор высших степеней 165

дыдущем параграфе это отождествлеiiие с необходимостью привело к требованию выполнения равенств (4.9).

Подобное отождествление широко используется в литературе по методу конечных элементов, позволя я прида вать <физический> смысл параметрам а,,,. Такое «стандартное» определение конечно- элементных базисных функций имеет, однако, определенный не достаток.

Этот недостаток становится очевидным, если рассмотреть при веденные в (4.12) базисные функции для линейньхх, квадратичных и кубических многочленов и соответствующие матрицы элементов из примера 4. 1. Базисные функции разных степеней существенно различаются по виду, и поэтому для разных порядков аппрокси мации получаются совершенно различные матрицьт элементов. Таким образом, если принимается решение о повторном решении задачи с использованием базисных функций высших степеней, то систему уравнени й приходится полностью перевьтчислять.

Этот тип аппроксимации резко отличается от приближения гладкими функциями из гл. 2, где рассматривалось разложение стандартного вида

М

а          (4.13)

1= 1

с уточнением решения посредством увеличения общего числа используемых базисных функций при остающейся неи змен ной форме базисных функций низших степеней. В результате для линейной задачи получается следующая последовательность ап проксимаци й:

М—2 [ К

— [ К [ .1 — 1.12]’

ГКП К К         I

М=З: к к к а 12

[ К,, К,,,,.] 1_а            у,,

Нетрудно видеть, что здесь на каждом шаге уточнения аппро кстi ма ции получен ные на предыдущем шаге матр и цы встречаются вновь н нет необходимости их перевычислять.

Кроме того, если выбранные базисные функции строго орто гональны, то получаемые на каждом этапе уточнения матрiiцы теперь являются диагоналытыми и обеспечивают лучшую обуслов ленность решаемой системы уравнений. Действительно, в примере 2.2 было установлено, что использование метода Галеркина при менительно к системе полностью ортогональных базисных функ ций при водит к распадающейся системе линейных алгебраттческих

уравнени й. При этом для последовательности ап проксттмаци й имеем М = 1: К =

[ О 1{а            Г

1          —        i           I           1=1      1,

О К 1а [

Гк о О Гаi Г!

М=3:   10 К О а =1/2

[ О К,,,, [ 1

На каждом шаге уточнения к результатам предшествующего ре шения просто добавляется слагаемое а,,, Л7,,,, где

(4.16)

В этом параграфе будет предложен способ генерирования ко нечных элементов высших степеней, учитывающий некоторые п реимуiцества метода аппроксимации гладкими функциями из гл. 2. Теперь базисные функции будут определяться не с помо щью условий вида (4.9), а посредством аддитивного уточнения. Такие базисные функции мы будем называть иерархическими.