Волновое уравнение. Конечноэлементная формулировка задачи. Метод суперпозиции гармоник

Страницы работы

Содержание работы

1. Волновое уравнение

     Во многих задачах течений невязкой жидкости приходится сталкиваться с основным уравнением вида

                                                     (1)

где Ф — функция типа потенциала.

     Это уравнение обычно трехмерное и называется волновым. Оно относится к уравнениям гиперболического типа, и для него необходимо задать как граничные, так и начальные условия.

1.1.  Конечноэлементная формулировка задачи

       К волновому уравнению может быть применен метод конечных элементов. Вариационную формулировку для двухмерной задачи, соответствующую уравнению (1), можно записать в следующем виде:

               (2)

Предполагается, что на поверхности S1 выполняется условие и .  После интегрирования выражения (2) по частям  получим

              (3)

    Потенциал Ф можно аппроксимировать в пределах каждого элемента как

                                           (4)

где F-интерполяционная функция; Fn и -узловые неизвестные.

     Подставив выражения (4) в уравнение (3),  получим для одного элемента

                                         (5)

где

     После  объединения всех элементов имеем следующее матричное уравнение для всей области:                    

                             (6)

Уравнение (6) легко решается в случае гармонического движения, когда возмущение и ответная реакция  на него находятся в фазе, т. е. когда                        j

                                            (7)

где i=;  w—круговая частота.                        .

      Такой случай характеризует динамически установившийся режим и соответствует моменту, когда после начала возмущения прошло достаточно времени.

Подставляя выражения (7) в уравнение (6), получаем

                                          (8)

Если частота w известна, то можно решить систему уравнений (8) для заданной величины P0 . В частности, если P0 = 0,  урав­нение (8) сводится к нахождению собственных значений (wi) и собственных векторов (Нi) , которые дают решение системы.

         Важно указать, что для задач, связанных с исследованием гармонического установившегося состояния, точность конечноэлементного  решения в значительной степени зависит от размеров сетки, конечных элементов. Эта зависимость выражается как функция от параметра r:

где Lmax — максимальный размер наибольшего элемента; lmin- минимальная длина волны.

         Эта величина, определяющая максимальный характерный размер элемента, должна быть, как правило, не более 0,1. Упомянутый метод решения применим для установившихся задач. Если Р есть произвольная функция времени Р(t) , то можно решать задачу методом суперпозиции или прямого интегрирования. Ниже обсудим технику решения с помощью первого метода.

1.2.Метод  суперпозиции гармоник.

       Рассмотрим уравнение (6) которое запишем в виде

                            (9)

Как и ранее, предположим, что используется минимум главных краевых условий. Следовательно, матрица К , равно как  матрица М, является положительно определенной. Заметим, что если определенные элементы матрицы Ф известны и отличны от нуля (обозначимих ), то после умножения на соответствующий

столбец К они дадут в правой части уравнения вектор . Допустим ,что ускорения на границе области, соответствующие этим значениям Ф, равны нулю. Следовательно, выражение (8) можно  записать в виде

                                      (10)

где К, М и Р новыематрицы, приведенные к удобномувиду.

  В методе суперпозиции гармоник сначала рассматривается  случай свободных колебаний, т. е. уравнение (8). Это дает последовательность собственных чисел и собственных векторов,  которые можно записать как

wi, Fi  для   i=1, 2, . . . , n ,

где все wi — положительны для положительно определенных матриц К и М.                                                                                                                                        Согласно определению

                                         (11)

ВекторыFi ортогональны матрицам К и М, т. е.

        для i¹j,                            (12)

и эти произведения не равны нулю, когда i = j. Каждый собственный вектор содержит произвольную постоянную, которая обычно находится из условия нормированияFi относительно М:

                                           (13)

Это приводит к соотношению

                                                (14)

   Решение для вектора Ф можно записать как комбинацию S различных собственных векторов и вектора с известными значениями :

                           (15)

где s£ n и  qi =qi(t) можно рассматривать как обобщенные  координаты.

Подстановка Ф в уравнение (10) приводит к следующему равенству:

                                (16)

Умножив предварительно это уравнение на  с учетом  условия ортогональности, получим s несвязанных между собой дифференциальных уравнений вида

                                   (17)

где

Решение уравнения (17) даст

            (18)

где x — переменная интегрирования.

Первые члены, равные нулю, если система находится первоначально в покое, содержат начальные условия. Суммируя вклады всех s форм, получаем

                                   (19)

Основная трудность состоит в выборе s, т. е. в решении вопроса о том, сколько нужно взять обобщенных координат. Решение является точным, если s =n (термин «точное» относится в данном случае к решению дискретных уравнений).

1.3.Реакция прибрежных вод на гармонические возмущения.

          Рассмотрим специальный случай волнового уравнения, описывающего задачу определения реакции прибрежных вод на гармонические возмущения .Обозначения показаны на рис. 1. Пусть h(x1 ,x2 ,t) — возвышение свободной

Рис.1. Гармоническое вынужденное движение.

Случай мелкой воды.

поверхности над уровнем моря. Будем оперировать с  проинтегрированными вертикальному направлению  величинами q1 и q2 ,  которые в этом случае являются функциями от x1 , x2 и t:

                              (20)

Допустим также, что амплитуда h мала по сравнению с первоначальной глубиной h , и пренебрежем силой Кориолиса и горизонтальным трением. Будем считать, что давление равно гидростатическому давлению:

P=gr(h-x3).                                        (21)

Похожие материалы

Информация о работе