Информатика и математика (Математика): Учебно-методический комплекс, страница 5

Новая переменная выбирается таким образом, чтобы преобразованный интеграл оказался табличного вида.

Пример:

Метод интегрирования по частям основан на формуле

.

При этом подынтегральное выражение делят на две части. Одну обозначают  ,  другую .

Затем находят   и . Выделять части нужно так, чтобы новый интеграл   оказался проще исходного.

Пример:

Определенный интеграл вычисляется с помощью тех же методов, что и неопределенный, но при этом используется формула Ньютона - Лейбница. 

Пример:

.

Геометрический смысл определенного интеграла ясен из рисунка 6  и формулы 

,

 где   - площадь криволинейной трапеции.

Рис.6

Пример: Найти площадь фигуры (рис.7), ограниченной параболой  и осью .

Решение: Найдем пределы интегрирования как точки пересечения параболы  с осью .

При , , , , .

Теперь найдем площадь как

 (кв.ед.)

Рис.7

Площадь фигуры, заключенной между двумя линиями  и , вычисляется по формуле:

.

Упражнения

1. Вычислить интеграл:

 1. ∫                       2. ∫

3. ∫                               4. ∫

5. ∫                                        6. ∫

7. ∫                                            8. ∫

9. ∫                                                 10. 

11.                                              12.

13.                                         14.

2. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

  1.               2. 

  3.                      4.

  5.        6.

  7.                 8.

3 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ  ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

3.1 Случайные события

Теория вероятностей - это раздел математики, в котором изучаются случайные события и выводятся закономерности, которым они подчиняются при массовом повторении.

Под событием понимается любой результат опыта или наблюдения. События принято обозначать первыми заглавными буквами латинского алфавита:

События делятся на три вида:

-  достоверные, те, которые обязательно произойдут при определенных условиях;

-  невозможные, те, которые заведомо не произойдут при определенных условиях;

-  случайные, те, что могут произойти или не произойти при определенных условиях.

События можно складывать и умножать.

Суммой событий называется новое событие, состоящее в том, что происходит хотя бы одно из слагаемых событий.

Произведением событий называется новое событие, состоящее в том, что происходят все перемножаемые события.

Пример: из двух лотерейных билетов  выигрышным является первый- событие А, выигрышным является второй билет - событие В. Тогда событие  А + В состоит в том, что выиграет либо первый билет, либо второй, либо оба билета. Событие  состоит в том, что выиграют оба билета.

Геометрически операции над событиями изображаются с помощью кругов Эйлера (рис 8)

                    А + В                                          

Рис.8.

Классификация событий

      События называются совместимыми, если в результате опыта возможно появление всех этих событий. События называются несовместимыми, если возможно появление только одного из них.

Два несовместимых события называются противоположными, если в условиях опыта одно из них обязательно произойдет. Противоположные события обозначаются как .

Понятие вероятности

Вероятность служит количественной мерой объективной возможности появления события и обозначается символом  .

     Вероятность события находится по формуле           

,                                            (1)

где - число исходов опыта, благоприятствующих наступлению данного события,

  - общее  число исходов опыта.

Заметим, что вероятность достоверного события равна 1,  вероятность невозможного события равна 0. Вероятность противоположного события находится по формуле:

.

Пример.  В лотерее играет  1000 билетов. Из них 20 билетов выигрышных. Какова вероятность приобрести выигрышный билет - событие А?