Информатика и математика (Математика): Учебно-методический комплекс, страница 4

Определение экстремума функции.

Точками экстремума функции называются точки максимума и минимума. На конечном промежутке у функции может быть несколько максимумов и минимумов, то есть экстремум имеет локальный характер.

Необходимое условие экстремума

Если   является точкой экстремума функции , то ее первая производная  в этой точке равна нулю или не существует. Точки экстремума называются критическими точками.

Достаточное условие экстремума

Если производная функции при переходе через критическую точку  меняет знак с плюса на минус, то есть

 при  и  при ,

то функция в этой точке имеет максимум.

Если производная функции при переходе через критическую точку меняет знак с минуса на плюс, то есть 

 при  и  при ,

то в этой точке функция имеет минимум.

Пример.  Найти интервалы возрастания и убывания и экстремум функции .

Решение. Находим производную функции:

.

Решая уравнение , получаем две точки возможного экстремума  и .

Рис.5

Исследовав знак  (рис.5),  получаем, что на интервалах  и  функция  возрастает, а на интервале  - убывает.

Точка  - точка максимума,  - максимальное значение функции, а точка - точка минимума,  - минимальное значение функции.

Упражнения

1. Найти производные функций:

1.            2.

3.       4.

5.                           6.

7.                          8.

9.                           10.

2. Найти промежутки монотонности и экстремумы   следующих функций:

 1.                         2.           

3.                         4.                   

5.                             6.                      

7.                            8.                                                                                

9.                           10.   

2.4 Интегральное исчисление

В тех задачах, где требуется найти суммарное значение некоторой непрерывной функции на данном промежутке, используется операция интегрирования. Операция интегрирования является обратной для операции дифференцирования.

Постановка задачи. Найти такую функцию , производная которой равна данной функции , то есть

Функция   называется первообразной для функции .

Совокупность всех первообразных называют  неопределенным интегралом функции, и обозначают как

,

где  С -  произвольная постоянная,  -  дифференциал независимой переменной.

Заметим, что дифференциалом функции  называют произведение производной этой функции на дифференциал независимой переменной, то есть              

.

Если требуется найти приращение первообразной на некотором отрезке  , то используется определенный интеграл:

.

Эта формула называется формулой Ньютона- Лейбница.

Заметим, что неопределенный интеграл - это функция, а определенный интеграл - это число.

Для вычисления интегралов используются таблица основных интегралов и свойства интегралов.

Таблица интегралов

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10. .
11.	12.

Свойства интегралов

1. Интеграл от дифференциала функции равен самой функции

В частности,

+C

     2.  Постоянную можно выносить за знак интеграла:

.

    3 . Интеграл суммы функций равен сумме интегралов этих функций:

            Метод вычисления интегралов, основанный на свойствах интеграла, называется методом непосредственного интегрирования. При этом часто нужно сначала сделать элементарные преобразования подынтегральной  функции.

Пример:

.

     Если не удается путем преобразования функции привести интеграл к табличному виду, то для его вычисления используются другие методы интегрирования.

Метод замены переменной основан на введении новой переменной .

Это можно сделать одним из двух способов:

или , а ,

или , а