Теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование поведения функции. Приложения производных к экономическим задачам. Функции многих переменных

Лекция 13.

ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

ПЛАН

1.  Введение.

2.  Теорема Ферма. Наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке.

3.  Теорема Ролля.

4.  Теорема Лагранжа – теорема о среднем значении.

5.  Теорема Коши об отношении приращений.

6.  Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида.

13.1. Введение

Как только стало возможным определить скорость изменения функции с помощью производной – пытливое человечество (в лице аристократов математиков) тут же стало возводить храм «Дифференциального исчисления», фундаментом которого являются теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, Лопиталя, Тейлора. Бегло осмотрим их наследие, взяв на заметку (и на вооружение) то, что может пригодиться нам в дальнейшем.

13.2. Теорема Ферма. Наибольшее и наименьшее
 значение функции на отрезке

Теорема 13.1 (теорема Ферма). Пусть функция  определена и дифференцируема на интервале  и в некоторой точке  принимает наибольшее (наименьшее) значение. Тогда производная в этой точке  будет равна нулю.

Доказательство.

Рассмотрим функцию , отвечающую теореме Ферма, и принимающую в точке  наибольшее значение (рис. 13.1). Тогда для этой точки справедливо неравенство  для всех x из некоторой окрестности точки x₀.

Найдем производную  в точке , воспользовавшись определением:

.

Если  слева, то Dx будет меньше нуля, приращение , а их отношение .

Если  справа, то ,  и .

Запишем это в общем виде:

Но  не должна зависеть от способа стремления  к нулю. Поэтому, если  дифференцируема, то ее производная в точке  может быть равна только нулю, что и требовалось доказать.

Геометрически теорему Ферма можно пояснить так. Если  – точка, в которой функция принимает наибольшее для интервала  значение, то касательная в точке  будет параллельна оси  (рис. 13.1). Но , что и следовало из теоремы.

Кинетически теорема Ферма означает, что в точках наибольшего и наименьшего значений скорость изменения функции равна нулю. Она как бы застывает в этой точке перед последующим падением или взлетом.

Позднее эти точки назовут экстремальными и теорему Ферма (без указания авторства) будут применять для их нахождения. Такова жизнь.

Вопросы к размышлению (для отличников).

1. Будет ли верна теорема Ферма, если интервал  заменить отрезком ?

2. Будет ли верна теорема Ферма для функции на рис. 13.2? Какие условия нужно добавит в теорему?

3. Будет ли верна обратная теорема, которая формулируется так: пусть функция  непрерывна и дифференцируема на интервале  и в некоторой точке  ее производная обращается в нуль. Тогда точка  – точка экстремума.

Для иллюстрации (или опровержения) этой теоремы приведите соответствующие примеры и тогда вам все станет ясно.

А теперь дадим правило для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции  на отрезке .

Для того, чтобы найти  и , нужно найти точки, где , либо не существует, а также  и . Из найденных значений выбрать наименьшее и наибольшее.

Пример 13.1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке .

Решение.

1. Найдем , и точки, где .

, если .

Обе точки принадлежат рассматриваемому интервалу.

2. Найдем  и  и сравним полученные результаты.

Теорему Ферма иногда называют теоремой о корнях производной. Напомним, что корнем функции  называется точка, где  и график пересекает ось . Вернитесь в прошлую лекцию, п. «Графическое дифференцирование». График функции  пересекает ось  в точке максимального значения.

Следующая теорема ничего нового для нахождения экстремальных точек не даст, но она необходима для доказательства последующих теорем Лагранжа и Коши, которые, как мы увидим, имеют уже практическое значение.

13.3. Теорема Ролля

Теорема 13.2 (теорема Ролля). Если функция  непрерывна и дифференцируема на отрезке  и на концах отрезка обращается в нуль, т.е. , то внутри этого отрезка найдется хотя бы одна точка , в которой производная равна нулю .

Геометрическая иллюстрация этой теоремы приведена на рис. 13.3.

Доказательство. Так как функция  непрерывна на отрезке , то она на этом отрезке достигает наибольшего и наименьшего значений  и  (см. теоремы о непрерывных функциях в лекции 10).

Если эти значения достигаются на концах отрезка, то это означает, , т.е. функция является постоянной, производная от которой равна нулю.

Пусть одно из чисел, например M, достигается внутри отрезка . Значение аргумента  в этой точке  обозначим через . Поскольку функция в этой точке дифференцируема, то по теореме Ферма , что и требовалось доказать.

Но существуют еще две точки, в которых производная обращается в нуль – это точки  , поэтому в условии теоремы написано «хотя бы одна точка…»

Вообще в теоремах нет лишних слов. Каждое слово означает требование, которое следует выполнить.

Для иллюстрации этого положения рассмотрим функцию  на отрезке . Она непрерывна на этом отрезке и  и , т.е. два условия теоремы выполнены. Найдем .

Эта производная нигде не обращается в нуль. Что же, теорема Ролля не верна? Верна.

Мы забыли еще одно требование – требование дифференцируемости. В точке ,  не существует, т.е.  не дифференцируема и, следовательно, применить к ней теорему Ролля нельзя. График функции  изображен на рис. 13.4.

Так математика учит нас зоркому отношению к «мелочам».

А теперь вопросы.

1. Как измениться формулировка теоремы Ролля для функции, изображенной на рис. 13.4.?

2. Будет ли верна теорема Ролля, если условие  заменить на ?

Следующую теорему используют для доказательства многих важных теорем, поэтому отнеситесь к ней внимательно.

13.4. Теорема Лагранжа о среднем значении

Теорема 13.3 (теорема Лагранжа). Если функция  непрерывна и дифференцируема на отрезке , то внутри этого отрезка найдется хотя бы одна точка , в которой производная равна отношению приращения функции  к приращению аргумента :

.                                     (13.1)

Геометрическая интерпретация этой теоремы дана на рис. 13.5.

Пусть  непрерывна и дифференцируема на отрезке . Проведем хорду , получим , в котором ,  и тангенс угла наклона хорды  равен . Теорема утверждает, что найдется хотя бы одна точка  на графике функции , в которой касательная параллельна хорде или .

Доказательство.

Для доказательства теоремы Лагранжа используем прием, которым часто пользуются в математике – введение дополнительной функции, обладающей заданными свойствами. В ней обязательно должно присутствовать выражение, входящее в доказательство . Эта дополнительная функция похожа на обертку – сохраняет и доставляет товар покупателю и сразу исчезает, как только товар начинают применять по назначению.

Итак, введем дополнительную функцию

.                                     (13.2)

Запишем уравнение хорды , как уравнение прямой, проходящей через данную точку  и заданным угловым коэффициентом

,

.                        (13.3)

Подставим (13.3) в (13.2), получим:

.                      (13.4)

Функция  отвечает всем условиям теоремы Ролля:  – непрерывна, дифференцируема и  (подставьте и убедитесь). Следовательно, существует такая точка , в которой . Находим . Отсюда , что и требовалось доказать.