Между духом и материей
посредничает математика.
Хуго Штейнхаус
ПЛАН
1. Введение.
2. Декартова система координат.
3. Полярная система координат.
4. Элементы векторной алгебры.
5. Скалярное произведение векторов
6. Заключение.
- Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир, – мечтал Архимед в 250 году до нашей эры в Греции.
- Дайте мне универсальный язык, и я опишу весь мир, – мечтал Рено Декарт в1619 году во Франции.
Весь мир для них состоял из предметов и сил, которые приводили эти предметы в движение. Числа и силы, разъединенные физикой и математикой, были мало связаны между собой. Для того чтобы связать их, нужен был новый язык, простой и ясный, который был одинаково понятен всем, кто имеет дело с числами и их изменениями.
Мечта Декарта сбылась. Он нашел универсальный язык, на котором с тех пор говорит весь математический и физический анализ, – язык отвлеченных формул, каждая из которых при внешней похожести может описывать различные явления.
А все началось с оси действительных чисел, на которую Декарт поместил все известные и неизвестные (отрицательные и иррациональные) числа. Каждой точке на этой оси соответствовало свое число. Чем больше абсолютная величина числа – тем дальше находится оно от начала координат.Длина отрезка, заключенного между двумя точками, определяется как разность координат его концевых точек:
.
Определенный таким образом отрезок можно было делить пополам, и координата середины отрезка определялось как среднее его координат, т.е.
. (6.1)
Если отрезок АВ внутренней точкой С делится в соотношении , то координаты точки С находятся из решения уравнения , откуда
. (6.2)
Пример 6.1. Найти координаты середины отрезка АВ, если точка А отстоит вправо от начала координат на 5 ед., а точка В – на 13 ед., а также координаты точки K, делящий отрезок в отношении 1:7.
Решение. Воспользуемся выше данными формулами:
, .
На эту же ось можно было проецировать силы –
направленные отрезки, которые назывались векторы. Векторы
обозначаются символами АВ, , . В первых двух случаях начало
вектора находится в точке А, конец – в точке В, в третьем случае
начало вектора находится в любой точке (рис. 6.1).
И вновь число, равное разности координат его начала и конца, однозначно характеризовало почти все векторы. Это число называлось проекцией вектора на ось.
(6.3)
Эту формулу вы помните из школы.
По заданной проекции и углу между вектором и положительным направлением оси OL можно было найти модуль вектора или его длину.
, (6.4)
откуда
.
Если угол между вектором и осью был острый – проекция считалась положительной, если тупой – отрицательной. Но если вектор был перпендикулярен оси – его проекция становилась равной нулю, и восстановить его модуль было невозможно. Такие векторы либо выпадали из рассмотрения, либо для них нужно было ввести дополнительную ось.
И Декарт ввел ее. Две взаимно перпендикулярные оси, выходящие из одной точки – нуля (начала), как две скрещенные шпаги, разделили плоскость на четыре части. Он назвал их Системой координат, а части квадрантами, или четвертями.
Теперь каждая точка на плоскости, а потом и в пространстве могла быть «привязана» к системе. Эти «привязки» назывались координатами точки в декартовой системе координат. Координаты однозначно определяли положение точки на плоскости. Например, точка находится в III четверти, , и т.д.
Рис. 6.2. Декартова система координат
Как только точки получили свои координаты, – сразу стало возможно определить между ними расстояние. Если точки А и В имели координаты и соответственно, то расстояние между ними определялось по теореме Пифагора (рис. 6.2). Это была первая формула, связывающая координаты воедино.
. (6.5)
Формулы для середины отрезка и для пропорциональных отрезков не изменились, к ним просто добавилась вторая координата:
(6.6)
Формула (6.5) могла определить и модуль вектора (или его длину), если известны координаты начала и конца. В новой системе не было запрета на перпендикулярные векторы, как в случае с одной осью. Перпендикулярные одной, они были параллельны другой, и их модули определялись однозначно. Так родилась новая наука, объектами изучения которой являлись векторы. Она называется векторным анализом. В нашем случае рассмотрение этой темы носит ознакомительный характер. Желающие приобрести более глубокие знания могут обратиться к любому учебнику из списка рекомендованной литературы.
В ней любая точка на плоскости М также описывалась с помощью двух чисел – расстояния от полюса О до точки М, которое обозначали буквой r, и угла между ОМ и полярной осью L – . Она позволяла определять местонахождение моряков во время плавания. В этой системе не было отрицательных и иррациональных чисел – ведь расстояние всегда положительно и конечно. В ней можно было описать маршрут с помощью кривых, имеющих название астроида, кардиоида, улитка Паскаля, локон Аньези и т.д. Именно тогда были составлены таблицы тригонометрических функций углов, которые до сих пор удивляют своей точностью. Но в ней нельзя было найти расстояние между двумя точками, потому что они соединялись не отрезком прямой, а дугой. А геометрия Евклида рассматривала только прямолинейное соединение, как кратчайшее расстояние между двумя точками.
Но несмотря на эти недостатки, полярная система координат востребована до сих пор и широко применяется не только мореплавателями, но и летчиками и космонавтами. Интересна она и экономистам.
Покажем, как строятся точки в полярной системе координат.
1. Задаем полюс: точку P (аналог началу координат).
2. Задаем полярную ось Ol: масштаб и положительное направление.
3. Точку строят так:
а) Проводят луч OZ под углом j к оси Ol; отсчет производится против часовой стрелки. Если , то отчет производится по часовой стрелке (но это пришло много позже).
б) На луче OZ откладывают расстояние r в единицах масштаба полярной оси.
Пример 6.2. Изобразить точки , , , , (рис.6.5).
Рис. 6.4
Уравнение линии в полярной системе координат в общем виде записывают следующим образом: , считая, что j – аргумент (независимая переменная), r – функция от j.
Самая простая линия называется спиралью Архимеда. Углу j дают значения в радианной мере и приравнивают их значениям функции r (рис. 6.5).
j |
0 |
… |
||||||
r |
0 |
0,785 |
1,571 |
2,355 |
3,141 |
4,710 |
6,282 |
… |
Рис. 6.5
Если в уравнение связи входят тригонометрические функции или , то учитывают, что они могут принимать и отрицательные значения. Это нужно иметь в виду, поскольку мы будем считать, что (расстояние не может быть отрицательным).
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.