Ты можешь стать умнее тремя путями: путем опыта – это самый горький путь; путем подражания – это самый легкий путь; путем размышления – это самый благородный путь.
Китайская пословица
Рассмотрим еще один класс функций, первообразные от которых можно записать в элементарных функциях, это интегралы вида
Рассмотрим еще один класс функций, первообразные от которых можно записать в элементарных функциях, это интегралы вида
,
где R(u,v) – рациональная функция двух переменных u и v. Такие интегралы, при помощи универсальной подстановки
, (2.2.1)
сводятся к интегрированию рациональных функций.
Действительно, используя формулы, выражающие синусы и косинусы через тангенс половинного угла:
, , ,
находим
, , . (2.2.2)
В результате, вместо интеграла от тригонометрического выражения мы получаем интеграл от рациональной функции:
,
где R*(t) – рациональная функция от t.
Таким образом, интегрирование любого тригонометрического рационального выражения при помощи универсальной подстановки сводится к интегрированию рациональных функций, которые, как известно, всегда интегрируются в элементарных функциях. Следовательно, первообразные тригонометрических рациональных выражений всегда можно выразить в элементарных функциях.
Пример 2.2.1. Вычислить интеграл
.
Решение. Применяя здесь универсальную подстановку, получим
.
Метод интегрирования функций вида с помощью универсальной подстановки всегда приводит к цели. Однако в силу своей общности он не всегда является наилучшим, в смысле краткости и простоты преобразований. Например, рассмотрим интеграл вида
.
В этом случае удобнее сделать подстановку
. (2.2.3)
Тогда
, , . (2.2.4)
Пример 2.2.3. Вычислить интеграл
.
Решение. Чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся подстановкой (2.2.3). Однако, если вы не помните формул (2.2.4), то можно поступить следующим образом. Разделим числитель и знаменатель на , в результате получим
.
Так как
и ,
то
.
Интегралы данного вида также можно вычислить при помощи универсальной подстановки. Однако, как уже отмечалось, это не всегда рационально. Рассмотрим несколько случаев.
а) Пусть хотя бы одно из чисел: m или n– нечетное положительное число. Тогда, отделив от нечетной степени один сомножитель м внеся его под знак дифференциала, а оставшуюся часть преобразовав при помощи формулы
, (2.2.5)
получим в результате, что все подынтегральное выражение будет записано через синусы или косинусы.
Пример 2.2.4. Вычислить интегралы
а), б).
Решение. а) Преобразуем подынтегральное выражение в соответствие с приведенными рекомендациями:
.
б) Поскольку обе степени нечетные, все равно какой множитель выносить под знак дифференциала – синус или косинус:
.
б) Пусть теперь m и n – четные неотрицательные числа. В этом случае следует применить тригонометрические формулы понижения степени:
, , . (1.20)
Пример 2.2.5. Вычислить интегралы
а), б).
Решение.
а)
.
б)
.
в) Пусть m+n – четное отрицательное число. В этом случае предыдущий прием не приводит к цели. Здесь подынтегральное выражение преобразуется по степенях tgx или ctgx при помощи формул:
, (2.2.6)
. (2.2.7)
Пример 2.2.6. Вычислить интеграл
.
Решение.
.
г) Пусть m+n=0, т.е. будем рассматривать интегралы вида:
, . (2.2.8)
Для вычисления этих интегралов лучше всего воспользоваться формулами:
, , (2.2.9)
Пример 2.2.7. Вычислить интегралы
а), б).
Решение.
а)
.
б)
.
Для интегрирования произведения синусов и косинусов различных аргументов применяются тригонометрические формулы:
(2.2.9)
Пример 2.2.8. Вычислить интеграл
.
Решение. Применяя формулу произведения косинусов, получим
.
1. Почему интегралы от тригонометрических рациональных выражений всегда «берутся»?
2. Что такое универсальная подстановка. Почему она называется универсальной, на ваш взгляд?
3. Как вычисляются интегралы вида ?
4. Как вычисляются интегралы вида ? Можно ли здесь использовать универсальную подстановку?
5. Как вычисляются интегралы вида ?
1. Вычислить интегралы, используя универсальную подстановку:
а) , |
б) , |
в) , |
г) . |
2. Вычислить интегралы, используя универсальную подстановку:
а) , |
б) , |
в) . |
3. Вычислить интегралы, используя подстановку :
а) , |
б) , |
в) . |
4. Вычислить интегралы:
а) , |
б) , |
в) . |
5. Вычислить интегралы:
а) , |
б) , |
в) . |
6. Вычислить интегралы:
а) , |
б) , |
в) . |
7. Вычислить интегралы:
а) , |
б) , |
в) . |
8. Вычислить интегралы:
а) , |
б) , |
в) . |
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.