Интегрирование тригонометрических выражений

2.2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

Ты можешь стать умнее тремя путями: путем опыта – это самый горький путь; путем подражания – это самый легкий путь; путем размышления – это самый благородный путь.

Китайская пословица

Рассмотрим еще один класс функций, первообразные от которых можно записать в элементарных функциях, это интегралы вида

2.2.1. Интегралы вида

Рассмотрим еще один класс функций, первообразные от которых можно записать в элементарных функциях, это интегралы вида

,

где R(u,v) – рациональная функция двух переменных u и v. Такие интегралы, при помощи универсальной подстановки

,                                                   (2.2.1)

сводятся к интегрированию рациональных функций.

Действительно, используя формулы, выражающие синусы и косинусы через тангенс половинного угла:

,     ,     ,

находим

,     ,     .                     (2.2.2)

В результате, вместо интеграла от тригонометрического выражения мы получаем интеграл от рациональной функции:

,

где R*(t) – рациональная функция от t.

Таким образом, интегрирование любого тригонометрического рационального выражения при помощи универсальной подстановки сводится к интегрированию рациональных функций, которые, как известно, всегда интегрируются в элементарных функциях. Следовательно, первообразные тригонометрических рациональных выражений всегда можно выразить в элементарных функциях.

Пример 2.2.1. Вычислить интеграл

.

Решение. Применяя здесь универсальную подстановку, получим

 

.

Метод интегрирования функций вида  с помощью универсальной подстановки всегда приводит к цели. Однако в силу своей общности он не всегда является наилучшим, в смысле краткости и простоты преобразований. Например, рассмотрим интеграл вида

.

В этом случае удобнее сделать подстановку

.                                                   (2.2.3)

Тогда

,   ,   .              (2.2.4)

Пример 2.2.3. Вычислить интеграл

.

Решение. Чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся подстановкой (2.2.3). Однако, если вы не помните формул (2.2.4), то можно поступить следующим образом. Разделим числитель и знаменатель на , в результате получим

.

Так как

     и      ,

то

.

1.4.2. Интегралы вида

Интегралы данного вида также можно вычислить при помощи универсальной подстановки. Однако, как уже отмечалось, это не всегда рационально. Рассмотрим несколько случаев.

а) Пусть хотя бы одно из чисел: m или n– нечетное положительное число. Тогда, отделив от нечетной степени один сомножитель м внеся его под знак дифференциала, а оставшуюся часть преобразовав при помощи формулы

,                                           (2.2.5)

получим в результате, что все подынтегральное выражение будет записано через синусы или косинусы.

Пример 2.2.4. Вычислить интегралы

а),       б).

Решение. а) Преобразуем подынтегральное выражение в соответствие с приведенными рекомендациями:

 

 

.

б) Поскольку обе степени нечетные, все равно какой множитель выносить под знак дифференциала – синус или косинус:

.

б) Пусть теперь m и n – четные неотрицательные числа. В этом случае следует применить тригонометрические формулы понижения степени:

,   ,   .     (1.20)

Пример 2.2.5. Вычислить интегралы

а),       б).

Решение.

а)

.

б)

.

в) Пусть m+n – четное отрицательное число. В этом случае предыдущий прием не приводит к цели. Здесь подынтегральное выражение преобразуется по степенях tgx или ctgx при помощи формул:

,                          (2.2.6)

.                        (2.2.7)

Пример 2.2.6. Вычислить интеграл

.

Решение.

.

г) Пусть m+n=0, т.е. будем рассматривать интегралы вида:

,     .                                      (2.2.8)

Для вычисления этих интегралов лучше всего воспользоваться формулами:

,    ,                                (2.2.9)

Пример 2.2.7. Вычислить интегралы

а),       б).

Решение.

а)

.

б)

.

1.4.3. Интегралы вида

Для интегрирования произведения синусов и косинусов различных аргументов применяются тригонометрические формулы:

                    (2.2.9)

Пример 2.2.8. Вычислить интеграл

.

Решение. Применяя формулу произведения косинусов, получим

.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.  Почему интегралы от тригонометрических рациональных выражений всегда «берутся»?

2.  Что такое универсальная подстановка. Почему она называется универсальной, на ваш взгляд?

3.  Как вычисляются интегралы вида ?

4.  Как вычисляются интегралы вида ? Можно ли здесь использовать универсальную подстановку?

5.  Как вычисляются интегралы вида ?

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

1. Вычислить интегралы, используя универсальную подстановку:

а) ,

б) ,

в) ,

г) .

2. Вычислить интегралы, используя универсальную подстановку:

а) ,

б) ,

в) .

3. Вычислить интегралы, используя подстановку :

а) ,

б) ,

в) .

4. Вычислить интегралы:

а) ,

б) ,

в) .

5. Вычислить интегралы:

а) ,

б) ,

в) .

6. Вычислить интегралы:

а) ,

б) ,

в) .

7. Вычислить интегралы:

а) ,

б) ,

в) .

8. Вычислить интегралы:

а) ,

б) ,

в) .