Векторная алгебра. Элементы аналитической геометрии

Лекция 6.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Между духом и материей
посредничает математика.

Хуго Штейнхаус

ПЛАН

1.  Введение.

2.  Декартова система координат.

3.  Полярная система координат.

4.  Элементы векторной алгебры.

5.  Скалярное произведение векторов

6.  Заключение.

6.1. Введение

- Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир, – мечтал Архимед в 250 году до нашей эры в Греции.

- Дайте мне универсальный язык, и я опишу весь мир, – мечтал Рено Декарт в1619 году во Франции.

Весь мир для них состоял из предметов и сил, которые приводили эти предметы в движение. Числа и силы, разъединенные физикой и математикой, были мало связаны между собой. Для того чтобы связать их, нужен был новый язык, простой и ясный, который был одинаково понятен всем, кто имеет дело с числами и их изменениями.

Мечта Декарта сбылась. Он нашел универсальный язык, на котором с тех пор говорит весь математический и физический анализ, – язык отвлеченных формул, каждая из которых при внешней похожести может описывать различные явления.

6.2. Декартова система координат

А все началось с оси действительных чисел, на которую Декарт поместил все известные и неизвестные (отрицательные и иррациональные) числа. Каждой точке на этой оси соответствовало свое число. Чем больше абсолютная величина числа – тем дальше находится оно от начала координат.Длина отрезка, заключенного между двумя точками, определяется как разность координат его концевых точек:

.

Определенный таким образом отрезок можно было делить пополам, и координата середины отрезка определялось как среднее его координат, т.е.

.                                            (6.1)

Если отрезок АВ внутренней точкой С делится в соотношении , то координаты точки С находятся из решения уравнения , откуда

.                                        (6.2)

Пример 6.1. Найти координаты середины отрезка АВ, если точка А отстоит вправо от начала координат на 5 ед., а точка В – на 13 ед., а также координаты точки K, делящий отрезок в отношении 1:7.

Решение. Воспользуемся выше данными формулами:

,     .

На эту же ось можно было проецировать силы – направленные отрезки, которые назывались векторы. Векторы обозначаются символами АВ, , . В первых двух случаях начало вектора находится в точке А, конец – в точке В, в третьем случае начало вектора находится в любой точке (рис. 6.1).

И вновь число, равное разности координат его начала и конца, однозначно характеризовало почти все векторы. Это число называлось проекцией вектора на ось.

                                              (6.3)

Эту формулу вы помните из школы.

По заданной проекции и углу между вектором и положительным направлением оси OL можно было найти модуль вектора или его длину.

,                                 (6.4)

откуда

.

Если угол между вектором и осью был острый – проекция считалась положительной, если тупой – отрицательной. Но если вектор был перпендикулярен оси – его проекция становилась равной нулю, и восстановить его модуль было невозможно. Такие векторы либо выпадали из рассмотрения, либо для них нужно было ввести дополнительную ось.

И Декарт ввел ее. Две взаимно перпендикулярные оси, выходящие из одной точки – нуля (начала), как две скрещенные шпаги, разделили плоскость на четыре части. Он назвал их Системой координат, а части квадрантами, или четвертями.

Теперь каждая точка на плоскости, а потом и в пространстве могла быть «привязана» к системе. Эти «привязки» назывались координатами точки  в декартовой системе координат. Координаты однозначно определяли положение точки на плоскости. Например, точка  находится в III четверти, ,  и т.д.

Рис. 6.2. Декартова система координат

Как только точки получили свои координаты, – сразу стало возможно определить между ними расстояние. Если точки А и В имели координаты  и  соответственно, то расстояние между ними определялось по теореме Пифагора (рис. 6.2). Это была первая формула, связывающая координаты воедино.

.                                 (6.5)

Формулы для середины отрезка и для пропорциональных отрезков не изменились, к ним просто добавилась вторая координата:

                           (6.6)

Формула (6.5) могла определить и модуль вектора (или его длину), если известны координаты начала и конца. В новой системе не было запрета на перпендикулярные векторы, как в случае с одной осью. Перпендикулярные одной, они были параллельны другой, и их модули определялись однозначно. Так родилась новая наука, объектами изучения которой являлись векторы. Она  называется векторным анализом. В нашем случае рассмотрение этой темы носит ознакомительный характер. Желающие приобрести более глубокие знания могут обратиться к любому учебнику из списка рекомендованной литературы.

6.3. Полярная система координат

Почему это простая на первый взгляд задача – определение расстояния между двумя точками, оказалась так важна? Дело в том, что способы описания точки на плоскости были известны и раньше. Так, почти на полвека раньше, в 1653 году, в Англии Академией Наук была разработана полярная система координат для военно-морского флота (рис. 6.3). они уже тогда учитывали кривизну поверхности земли.

В ней любая точка на плоскости М также описывалась с помощью двух чисел – расстояния от полюса О до точки М, которое обозначали буквой r, и угла между ОМ и полярной осью L – . Она позволяла определять местонахождение моряков во время плавания. В этой системе не было отрицательных и иррациональных чисел – ведь расстояние всегда положительно и конечно. В ней можно было описать маршрут с помощью кривых, имеющих название астроида, кардиоида, улитка Паскаля, локон Аньези и т.д. Именно тогда были составлены таблицы тригонометрических функций углов, которые до сих пор удивляют своей точностью. Но в ней нельзя было найти расстояние между двумя точками, потому что они соединялись не отрезком прямой, а дугой. А геометрия Евклида рассматривала только прямолинейное соединение, как кратчайшее расстояние между двумя точками.

Но несмотря на эти недостатки, полярная система координат востребована до сих пор и широко применяется не только мореплавателями, но и летчиками и космонавтами. Интересна она и экономистам.

Покажем, как строятся точки в полярной системе координат.

1. Задаем полюс: точку P (аналог началу координат).

2. Задаем полярную ось Ol: масштаб и положительное направление.

3. Точку  строят так:

а) Проводят луч OZ под углом j к оси Ol; отсчет производится против часовой стрелки. Если , то отчет производится по часовой стрелке (но это пришло много позже).

б) На луче OZ откладывают расстояние r в единицах масштаба полярной оси.

Пример 6.2. Изобразить точки , , , ,  (рис.6.5).

Рис. 6.4

Уравнение линии в полярной системе координат в общем виде записывают следующим образом: , считая, что j – аргумент (независимая переменная), r – функция от j.

Самая простая линия  называется спиралью Архимеда. Углу j дают значения в радианной мере и приравнивают их значениям функции r (рис. 6.5).

j	0							…
r	0	0,785	1,571	2,355	3,141	4,710	6,282	…

Рис. 6.5

Если в уравнение связи входят тригонометрические функции  или , то учитывают, что они могут принимать и отрицательные значения. Это нужно иметь в виду, поскольку мы будем считать, что  (расстояние не может быть отрицательным).