«Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей... Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики».
Г.Х.Харди
В первой главе отмечалось, что существуют первообразные довольно простых функций, которые уже нельзя выразить через элементарные функции. В связи с этим, огромное практическое значение приобретают те классы функций, о которых можно точно сказать, что их первообразные – элементарные функции. К такому классу функций относятся рациональные функции, представляющие собой отношение двух алгебраических многочленов. К интегрированию рациональных дробей приводят многие задачи. Поэтому очень важно уметь интегрировать такие функции.
Рациональной дробью (или дробно-рациональной функцией)называется отношение двух алгебраических многочленов:
, (2.1.1)
где и – многочлены.
Напомним, что многочленом (полиномом, целой рациональной функцией) n-й степени называется функция вида
, (2.1.2)
где – действительные числа. Например,
– многочлен первой степени;
– многочлен четвертой степени и т.д.
Рациональная дробь (2.1.1) называется правильной, если степень ниже степени , т.е. n<m, в противном случае дробь называется неправильной.
Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби (дробной части). Выделение целой и дробной частей неправильной дроби можно производить по правилу деления многочленов «уголком».
Пример 2.1.1. Выделить целую и дробную части следующих неправильных рациональных дробей:
а) , б) .
Решение. а) Используя алгоритм деления «уголком», получаем
Таким образом, получаем
.
б) Здесь также используем алгоритм деления «уголком»:
В результате, получаем
.
Подведём итоги. Неопределённый интеграл от рациональной дроби в общем случае можно представить суммой интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби. Нахождение первообразных от многочленов не представляет трудностей. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать в основном правильные рациональные дроби.
Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят кпростейшим (элементарным) рациональным дробям:
1) , |
2) , |
3) , |
4) , |
где – целое число, , т.е. квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.
Интегрирование простейших дробей 1-го и 2-го типа не представляет больших трудностей:
, (2.1.3)
. (2.1.4)
Рассмотрим теперь интегрирование простейших дробей 3-го типа, а дроби 4-го типа рассматривать не будем.
Начнём с интегралов вида
.
Данный интеграл обычно вычисляют путем выделения полного квадрата в знаменателе. В результате получается табличный интеграл следующего вида
или .
Пример 2.1.2. Найти интегралы:
а) , б) .
Решение. а) Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:
.
Отсюда находим
.
б) Выделив из квадратного трёхчлена полный квадрат, получаем:
.
Таким образом,
.
Для нахождения интеграла
можно выделить в числителе производную знаменателя и разложить интеграл на сумму двух интегралов: первый из них подстановкой сводится к виду
,
а второй – к рассмотренному выше.
Пример 2.1.3. Найти интегралы:
.
Решение. Заметим, что . Выделим в числителе производную знаменателя:
.
Тогда
.
Первый интеграл вычисляется при помощи подстановки :
.
Во втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе
.
Окончательно, получаем
Любую правильную рациональную дробь можно представить единственным образом в виде суммы простейших дробей. Для этого знаменатель нужно разложить на множители. Из высшей алгебры известно, что каждый многочлен с действительными коэффициентами
может быть представлен в виде произведения, содержащего сомножители вида и , причём квадратичный сомножители не имеют действительных корней. Если среди сомножителей имеются совпадающие, то многочлен может быть представлен в следующем виде
(2.1.5)
Числа – целые числа и называются кратностями корней.
Например,
.
В этом случае, число называется корнем многочлена кратности 3.
После того как знаменатель дроби разложен на множители, приступают к нахождению простейших дробей, составляющих в сумме данную дробь. Знаменателями таких простейших дробей могут лишь линейные и квадратичные множители, входящие в разложение , причём не в больших степенях, чем они входят в это разложение. Поэтому каждому сомножителю разложения в разложении дроби отвечает выражение вида
, (2.1.6)
а каждому сомножителю – выражение вида
. (2.1.7)
Отсюда получаем следующее практическое правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби.
1. Разложить знаменатель на линейные множители и квадратичные множители, не имеющие действительных корней.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.