Интегрирование рациональных дробей

Дополнение 2.1.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

«Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей... Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики».

Г.Х.Харди

В первой главе отмечалось, что существуют первообразные довольно простых функций, которые уже нельзя выразить через элементарные функции. В связи с этим, огромное практическое значение приобретают те классы функций, о которых можно точно сказать, что их первообразные – элементарные функции. К такому классу функций относятся рациональные функции, представляющие собой отношение двух алгебраических многочленов. К интегрированию рациональных дробей приводят многие задачи. Поэтому очень важно уметь интегрировать такие функции.

2.1.1. Дробно-рациональные функции

Рациональной дробью (или дробно-рациональной функцией)называется отношение двух алгебраических многочленов:

,                                            (2.1.1)

где  и  – многочлены.

Напомним, что многочленом (полиномом, целой рациональной функцией) n-й степени называется функция вида

,                                 (2.1.2)

где  – действительные числа. Например,

– многочлен первой степени;

– многочлен четвертой степени и т.д.

Рациональная дробь (2.1.1) называется правильной, если степень  ниже степени , т.е. n<m, в противном случае дробь называется неправильной.

Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби (дробной части). Выделение целой и дробной частей неправильной дроби можно производить по правилу деления многочленов «уголком».

Пример 2.1.1. Выделить целую и дробную части следующих неправильных рациональных дробей:

а) ,      б) .

Решение. а) Используя алгоритм деления «уголком», получаем

Таким образом, получаем

.

б) Здесь также используем алгоритм деления «уголком»:

В результате, получаем

.

Подведём итоги. Неопределённый интеграл от рациональной дроби в общем случае можно представить суммой интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби. Нахождение первообразных от многочленов не представляет трудностей. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать в основном правильные рациональные дроби.

2.1.2. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят кпростейшим (элементарным) рациональным дробям:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

где  – целое число, , т.е. квадратный трёхчлен  не имеет действительных корней.

Интегрирование простейших дробей 1-го и 2-го типа не представляет больших трудностей:

,                                   (2.1.3)

.                    (2.1.4)

Рассмотрим теперь интегрирование простейших дробей 3-го типа, а дроби 4-го типа рассматривать не будем.

Начнём с интегралов вида

.

Данный интеграл обычно вычисляют путем выделения полного квадрата в знаменателе. В результате получается табличный интеграл следующего вида

   или   .

Пример 2.1.2. Найти интегралы:

а) ,      б) .

Решение. а) Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:

.

Отсюда находим

.

б) Выделив из квадратного трёхчлена полный квадрат, получаем:

.

Таким образом,

.

Для нахождения интеграла

можно выделить в числителе производную знаменателя и разложить интеграл на сумму двух интегралов: первый из них подстановкой  сводится к виду

,

а второй – к рассмотренному выше.

Пример 2.1.3. Найти интегралы:

.

Решение. Заметим, что . Выделим в числителе производную знаменателя:

.

Тогда

.

Первый интеграл вычисляется при помощи подстановки :

.

Во втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе

.

Окончательно, получаем

2.1.3. Разложение правильной рациональный дроби
на сумму простейших дробей

Любую правильную рациональную дробь  можно представить единственным образом в виде суммы простейших дробей. Для этого знаменатель  нужно разложить на множители. Из высшей алгебры известно, что каждый многочлен с действительными коэффициентами

может быть представлен в виде произведения, содержащего сомножители вида  и , причём квадратичный сомножители не имеют действительных корней. Если среди сомножителей имеются совпадающие, то многочлен может быть представлен в следующем виде

         (2.1.5)

Числа  – целые числа и называются кратностями корней.

Например,

.

В этом случае, число  называется корнем многочлена  кратности 3.

После того как знаменатель дроби  разложен на множители, приступают к нахождению простейших дробей, составляющих в сумме данную дробь. Знаменателями таких простейших дробей могут лишь линейные и квадратичные множители, входящие в разложение , причём не в больших степенях, чем они входят в это разложение. Поэтому каждому сомножителю  разложения  в разложении дроби  отвечает выражение вида

,                                (2.1.6)

а каждому сомножителю  – выражение вида

.                 (2.1.7)

Отсюда получаем следующее практическое правило разложения правильной рациональной дроби  на простейшие дроби.

1. Разложить знаменатель  на линейные множители и квадратичные множители, не имеющие действительных корней.