Определение 16.6. Частной производной по х от функции называется предел отношения частного приращения к приращению при стремлении последнего к нулю.
Частная производная по х обозначается одним из символов
, , .
Согласно определению
. (16.6)
Определение 16.7. Частной производной по у от функции называется предел отношения частного приращения к приращению при стремлении последнего к нулю.
Частная производная по у обозначается символами
, , , .
Согласно определению
. (16.7)
Из этих определений сразу следует правило, по которому следует вычислять частную производную.
Правило вычисления частной производной. Частная производная вычисляется от функции по переменной х в предположении, что у – постоянная. Частная производная вычисляется по переменной у в предположении, что х – постоянная.
При вычислении частных производных работают все приемы вычислений производных сложных функций (вспомним правило цепочки).
Пример 16.4. Вычислить частные производные функции
Решение.
– здесь играет роль постоянного множителя,
– в данном случае числовой множитель, а производную от вычисляем «по цепочке».
Пример 16.5. Вычислить частные производные функции .
Решение.
, потому что у равен постоянной, и мы использовали формулу производной степенной функции .
, потому что , и мы используем формулу производной показательной функции .
Пример 16.6. Вычислить частные производные функции трех переменных .
Решение.
, , .
Механический или кинетический смысл частных производных остается прежним: они характеризуют скорость изменения функции по переменным х и у отдельно. С геометрией чуть сложнее. Для функции одной переменной производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси OХ.
Для функции двух переменных касательная «переходит» в касательную плоскость к поверхности, определяемой уравнением . Любая прямая, проходящая через точку касания, и лежащая в этой плоскости, будет касательной к поверхности. Выберем из них такую, чтобы ее проекция на плоскость ХОY была параллельна оси ОХ. В этом случае у будет величиной постоянной и тангенс угла наклона этой касательной к положительному направлению оси ОХ будет равен частной производной . Если рассмотреть другую касательную, проекция которой на плоскость ХОY параллельна оси ОY, то в этом случае х будет постоянной. Тангенс угла наклона этой касательной к положительному направлению оси ОY будет равен значению частной производной в данной точке (рис. 16.4).
Рис. 16.4
Для функций, содержащих большее число переменных, геометрическую интерпретацию частных производных дать нельзя.
Возникает вопрос, а не существует ли одной, общей производной для функции двух или больше аргументов? Нет, не существует. Но общее изменение функции можно охарактеризовать с помощью полного дифференциала , как главной части приращения функции. Для функции одной переменной дифференциал равен . Для функции двух переменных логично ожидать сумму «частных дифференциалов». Строгое доказательство этого утверждения можно найти в рекомендуемой литературе. Мы ограничимся определением и покажем его применение для решения задач.
Определение 16.8 . Пусть функция непрерывна вместе со своими частными производными по х и у. Полным дифференциалом называется сумма произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных, т.е.
. (16.8)
Это выражение является аналогом формулы для дифференциала функции одной переменной. Добавлено новое слагаемое, и простая производная функции по одной переменной х заменена частными производными по х и у. Для функции трех переменных будет тройная сумма.
Напомним, что дифференциал функции приближенно равен ее приращению: . Поэтому значение функции в точке можно определить из приближенного равенства:
, (16.9)
где dx и dy – приращения аргументов х и у соответственно.
Пример 16.7. Найти полный дифференциал и полное приращение dz и для функции , если , , , .
Решение.Найдем значения
(3 и .
по таблице логарифмов или при помощи калькуляторов. Определим приращение функции
.
Найдем дифференциалы аргументов:
, .
Тогда
,
и, окончательно, получаем
.
Сравним приращение и дифференциал .
Приближенно оценим значение по формуле (16.9):
.
Найдем относительную погрешность вычислений:
,
что говорит о достаточной степени точности проведенных вычислений.
В разных точках функция имеет различные значения частных производных, поэтому дифференциалы будут разными. По ним можно судить о степени возрастания и убывания функции.
Вопрос о существовании единой производной для функции двух переменных не переставал волновать пытливое человечество. Но переменные х и у не могли объединиться, поэтому задачу сформулировали по-другому: если в каждой точке функция меняется по двум и больше аргументам, то в каком направлении ее изменение будет наибольшим?
Направление, как известно, задается вектором. В общем виде вектор может быть записан так:, где – координаты вектора в декартовом базисе, | – модуль вектора,
, ,
– направляющие косинусы, сумма их квадратов равна единице. Это координаты единичного направляющего вектора для вектора . Его употребляют в вычислениях, когда важно именно направление, а не длина вектора.
Пусть функция непрерывна вместе со своими частными производными в некоторой области D и точке , принадлежит этой функции. Проведем из точки М вектор . Выражение вида
(16.10)
называется производной функции в направлении вектора . Она позволяет найти скорость изменения данной функции в направлении вектора .
Рассмотрим вектор, координаты которого равны частным производным функции в некоторой точке . Этот вектор называется градиентом функции в данной точке.
. (16.11)
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.