Математика \ Высшая математика

Теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование поведения функции. Приложения производных к экономическим задачам. Функции многих переменных, страница 12

Сравнение этих формул показывает, что производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно модулю градиента в данной точке. Поэтому вектор градиент показывает направление наибольшего возрастания функции в данной точке, а его модуль – скорость наибольшего возрастания.

Пример 16.8. Дана функция . Найти производную в точке
М(1, 1, 1) в направлении вектора и вектора градиента. Сравнить скорости изменения функции в этих направлениях.

Решение.Для того, что бы найти производную в направлении вектора, найдем вначале его модуль и направляющие косинусы.

, , , .

Найдем частные производные данной функции в точке :

, , .

Производная функции в направлении вектора :

Составим вектор градиент по найденным частным производным в точке М и найдем его модуль:

что и следовало ожидать.

Если функция есть функция двух переменных, то вектор

в точке лежит в плоскости ХОY и перпендикулярен проекции сечения поверхности плоскостью , параллельной плоскости ХОY. (рис. 16.5).

Рис. 16.5

16.7. Заключение

Сделаем первые выводы по этой теме.

1. Закон изменения одной переменной U в зависимости от двух и более независимых друг от друга переменных х, у и т.д. называется функцией многих переменных.

2. Изменения U по разным переменным различаются друг от друга и характеризуются частными производными. Частные производные показывают скорость изменения в своем направлении.

3. Скорость изменения в произвольном направлении характеризуется производной по направлению вектора .

4. Направление, в котором скорость имеет наибольшее значение, задается вектором, имеющим специальное название градиент. Его координаты равны значению частных производных в данной точке, а модуль – скорости изменения.

Лекция 17.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.
ЭКСТЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

ПЛАН

8. Введение.

9. Частные производные высших порядков.

10. Экстремумы функции двух переменных.

11. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.

12. Подбор параметров для эмпирических формул простейшего вида по методу наименьших квадратов

13. Заключение.

17.1. Введение

При изучении функции одной переменной кроме производной первого порядка, характеризующей скорость изменения какого-либо процесса, мы ввели понятие второй производной, которая отвечала за ускорение. У функции двух переменных существует две частные производные, которые в общем случае также являются функциями тех же переменных, и, следовательно, их снова можно дифференцировать и по х, и по у. Покажем, как это делается.

17.2. Частные производные высших порядков

Пусть функция z = f(x,y) непрерывна вместе со своими частными производными и в некоторой области D плоскости ХОY.

Определение 17.1. Частными производными второго порядка (или вторыми частными производными) называются производные от производных и .

Вторые частные производные обозначаются так:

здесь функция последовательно дифференцируется по х дважды;

здесь f дифференцируется сначала по х, а потом результат по у;

здесь f дифференцируется сначала по у, а потом результат по х;

здесь f дифференцируется дважды по у.

Первая и последняя производные называются иногда чистыми, а вторая и третья – смешанными производными второго порядка.

Можно доказать (см. учебник Кремера)), что

при условии непрерывности этих производных в заданных точках, т. е. вторая смешанная производная не зависит от порядка дифференцирования и поэтому четыре частных производных сводятся к трем.

Производные второго порядка можно вновь дифференцировать как по х, так и по у. Получим производные третьего порядка, две из которых чистые, а остальные шесть – смешанные:

, , , .

Здесь мы учли, что

и ,

и поэтому восемь частных производных сводятся к четырем.

Этот процесс можно продолжить и получить производные любого порядка, при условии, что все они непрерывны в заданной точке.

Пример 17.1. Вычислить производные второго порядка от функции

Решение. Найдем производные первого порядка, учитывая, что частная производная по х вычисляется в предположении, что у – постоянная и наоборот:

, .

Найдем производные второго порядка:

, , , .

Пример 17.2. Дана функция . Показать, что .

Решение. Найдем последовательно значения всех производных и проверим данное равенство.

, , , .

Подставим найденные значения в исходное равенство:

Мы видим, что равенство для заданной функции выполняется.

Пример 17.3. Дана функция . Показать, что .

Решение.

, ,

– это левая часть равенства.

Для вычисления правой учтем, что уже известно, и найдем

, .

Т.о. исходное равенство для заданной функции.

Как видно из приведенных примеров, следует соблюдать бдительность и отделять по возможности те переменные, которые в данном случае играют роль постоянной.

17.3. Экстремумы функции двух переменных

Мы достаточно подробно обсуждали экстремумы функции одной переменной. Перенесем эти знания на функции двух переменных.

Определение 17.2. Точка называется точкой максимума функции , если

для всех точек (х,у), достаточно близких к точке и отличных от нее (рис. 17.1).

Определение 17.2. Точка называется точкой минимума функции , если

для всех точек (х,у), достаточно близких к точке и отличных от нее. (рис. 17.2).

Точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют, называются критическими.

Иногда точку экстремума и ее характер можно определить из соображений здравого смысла.

Например, функция имеет минимум при и , т.е. в точке М(1,2). Действительно, для любых первое слагаемое будет расти, и для – тоже, поэтому в точке М(1,2) функция имеет минимум, причем (рис. 17.1).