Кроме того, существуют такие точки, где функция по одной переменной имеет минимум, а по другой переменной – максимум. Их называют точками минимакса (рис. 17.3), или седловыми, точками. Они особенно интересны экономистам, если в качестве определяющих переменных служат затраты Х (ден.ед) и прибыль Y (ден.ед.). Ясно, что нужно искать такие точки, в которых затраты были бы минимальными, а прибыль – максимальной.
Рис. 17.3
Но чаще всего определить экстремальную точку бывает затруднительно, поэтому, как и для функции одной переменной введем необходимый и достаточный признаки, позволяющие определять координаты и характер экстремума, не производя лишних вычислений.
Теорема 17.1
(необходимое условие экстремума). Если функция 
достигает экстремума при 
, то каждая частная производная
первого порядка в этой точке либо равна нулю, либо не существует.
Для достаточного признака существования экстремума введем дополнительные обозначения:
, 
, 
,
.
(17.1)
Теорема 17.2.
Пусть функция имеет непрерывные частные
производные до второго порядка включительно, и точка 
является
критической, т.е. 
. Тогда в этой точке:
1. 
имеет
максимум, если 
и 
;
2. имеет
минимум, если и 
;
3. не
имеет ни максимума ни минимума, если 
. Возможен
минимакс;
4. если 
, то нужны
дополнительные исследования.
Доказательство этих теорем выходит за рамки нашего курса. Его можно найти в рекомендуемой литературе.
Оба признака регламентируют порядок действия для отыскания экстремальных точек.
1. Находим частные производные первого порядка и из системы уравнений:
находим координаты критических точек.
2. Находим частные производные второго порядка и их значения в критических точках.
3. Составляем определитель 
по
формуле 17.1 и делаем вывод о характере экстремума.
4. Находим аппликату экстремальной точки.
Пример 17.4. Исследовать на максимум и минимум функцию
.
Решение. Следуем по плану.
1. Находим частные производные и приравниваем их к нулю:
Решая систему уравнений, находим 
, 
.
2. Находим частные производные второго порядка:
, 
,
.
3. Составляем определитель
.
Следовательно, функция в точке
(4/3 ,1/3) имеет минимум, т.к. 
.
4. 
.
Таким образом, точка минимума имеет координаты (4/3 , 1/3, –4/3).
Пример 17.5. Исследовать на максимум и минимум функцию
.
Решение.
1.Найдем критические точки:
Откуда получим две критические
точки 
и 
.
2. Производные второго порядка:
, 
,
.
3. В точке 
, 
,
, 
.
Следовательно в этой точке минимакс.
4. В точке 
, , 
, 
.
Следовательно в этой точке
функция имеет минимум, так как 
.
5. 
, 
.
Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее значения
функции в ограниченной области D,
следует найти значения функции в экстремальных точках и на границах области.
Наибольшее и наименьшее из них являются соответственно наибольшим и наименьшим
значениями функции в области D.
При отыскании этих значений на границе области следует в уравнение подставить уравнение границы,
разрешенное относительно одной переменной и рассматривать вопрос как для
функции одной переменной. Покажем это на примере.
Пример 17.6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
в замкнутой области D, заданной системой неравенств 
,
.
Сделать чертеж.
Решение.
Сделаем чертеж области D. Она ограничена сторонами
треугольника АОВ, причем уравнение АВ: 
,
уравнение ОВ: 
, уравнение АВ: 
(рис. 17.4).
Дальнейшее решение проведем по плану:
1. Найдем критические точки, в которых частные производные равны нулю:
Приравняем их нулю: 
Решив эту
систему, получим 
, 
.
Точка М(8/3, 4/3) принадлежит области D.
2. Определим, будет ли в этой точке экстремум, для чего воспользуемся достаточным условием (17.1) предыдущего пункта:
,
.
Так как 
,
следовательно, в точке М – min.
.
3. Найдем наименьшее и наибольшее значение функции z на границах области:
а) на границе ОА: 
, тогда функция 
, где 
.
Эта функция
монотонно возрастает на данном отрезке, и ее наименьшее и наибольшее значения
находятся на концах отрезка в точках А и О. 
, 
.
б) на границе ОВ:
, поэтому 
,
где 
. Найдем экстремум и значения функции
на концах отрезка в т. О(0,0) и точка В(6,0).
– это точка минимума точке С, т.к. парабола с поднятыми вверх ветками имеет только минимум.
, 
,
.
в) на границе АВ: . Запишем функцию z с учетом уравнения границы:
и .
Найдем только экстремум, так как значения функции в точках А и В были найдены выше.
.
Это тоже точка минимума, назовем ее точкой D. Найдем значение функции в этой точке:
.
г) Запишем и сравним значения функции, во всех экстремальных и граничных точках области:
, 
, 
, 
, 
, 
.
Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в граничной точке области А и наименьшее – во внутренней точке минимума М.
Таким образом, нахождение наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области свелось к функции одной переменной, с чем мы уже встречались в теме «Экстремумы функции одной переменной».
Если требуется определить наименьшее и наибольшее значение функции многих переменных, которые связаны друг с другом какими-то добавочными условиями, то эта задача так и называется задачей на условные экстремумы. Она выходит за рамки рассматриваемого курса. Ее можно найти в рекомендуемой литературе.
Рассматривая функции одной и многих переменных по
способам их задания, мы всегда переходили от одного способа к другому по
цепочке
формула
, причем взаимный переход
двух последних способов осуществлялся достаточно просто. Составление уравнения,
связывающего две переменные величины, полученные при проведении опытов, натолкнулось
на трудности двух видов.
1. Определение вида аппроксимирующей (приближенной) функции – линейной, степенной, гиперболической и т.д. Ее можно было решить из логики процесса: из теоретических соображений или на основании характера расположения точек, соответствующих экспериментальным данным.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.