Система дифференциальных уравнений. Задача Каши. Нормальные системы ЛОДУ с постоянными коэффициентами

Система ДУ.

Нормальная система ОДУ порядка n называется совокупность диффиринциальных уравнений первого порядка вида:

(1)

где функции  определены и непрерывные на множестве , - независимая переменная, - искомые функции, - их производные.

Кратный вид:

Введём вектор

и вектор

В нормальной системе все уравнения разрешимы относительно производных и имеют 1 порядок.

Решением на интервале  нормальной системы ОДУ называется совокупность n диффиринцируемых на I функций , такая что точка принадлежит  и имеет место равенство  Решением в неявном виде системы (1) на интервале  называется совокупность n соотношений , i=1,2,…,n определяющих совокупность неявных функций  которые являются решение системы (1) на интервале функции.

Задача Каши.

Задача Каши для системы (1) формулируется следующим образом: найти решение системы (1) удовлетворяющие условиям (2), где -заданные числа.

Теорема: Пусть правая часть f_i нормальная система (1) и их частные производные по переменным y₁,y₂,…,y_n определены и непрерывны на множестве , тогда в некоторой окрестности в точке t₀ существует непрерывное решение задачи каши (1), (2) и оно единственно.

множество Д в каждой точке которого существует единственное решение задачи Каши называется областью единственности системы (1).

Пусть Д область единственности системы (1) совокупность n функций  i=1,2,…,n (3)зависящих от n параметров С₁,С₂,…,С_n и имеющих непрерывные частные производные по t называются общим решением системы (1) если:

1. Соотношение (3) разрешимы относительно произвольных постоянных во всех точках (t,y₁,y₂,…,y_n)Д, т.е. С_i=(t,y₁,y₂,…,y_n) (4).
2. Совокупность (3) является решением системы (1) при всех значениях С₁,С₂,…,С_n получаемых из (4) когда (t,y₁,y₂,...,y_n)Д.

Общим решением в неявном виде или общим интегралом системы (1) называется совокупность n соотношений содержащие n параметров С₁,С₂,..,С_n и в неявном виде описывающие семейство функций являющееся общим решением системы (1) в Д.

Решением системы (1) во всех точках которого выполняется свойства единственности решения задачи Каши называется частным решением системы (1). Решение системы (1) во всех точках которого нарушено свойство единственности называется особым решением системы (1). Решение системы (1) не являющееся частным или особым называется составным решением. Замечание: все решения полученные из общего при конкретных значениях констант С_i является частным решением.

Метод исключений.

(1) 

Продифференцируем первое уравнение системы по переменной t:

Из первых n-1 уравнений системы находят выражения: y₂,y₃,…,yn через t,y₁,y'₁,…,y^(n-1)₁ и подставляют в первое уравнение системы. Тогда последнее уравнение получается ЛНДУ n порядка относительно y₁.

Нормальные системы ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

(5)

a_ij –искомые функции

A=(a_ij)

   

Запись (5) в векторной форме имеет вид =A

Вектор функции  называется линейно-зависимым если существует константы  не равные 0 одновременно, такие что их линейная комбинация равна 0. Совокупность n линейно-зависимых решений (5) называется фундаментальной системой решений.

Теорема: если совокупность вектора функции является фундаментальной системой решений, то общее решение системы записывается в виде:

Решение системы в случае простых корней характеристического уравнения. Метод Эйлера.

                 

                

                

Сокращаем на

и приводим подобные однородная система:

,,…,- неизвестные

Однородная система имеет не тривиальное решение когда её определитель равен 0   собственное значение матрицы А

координаты собственного вектора.

Решение задачи Каши матричным способом.

y₁(t₀)=y₁₀

y₂(t₀)=y₂₀

y_n(t₀)=y_n0

     

Пусть фундаментальная система решений  найдено. Матрицу Y(t) составленную из компонентов этих решений называют фундаментальной матрицей.

 

Y(t) удовлетворяет матричному уравнению Y'=AY

, тогда общее решение

 есть

y(t₀)=Y(t₀)

Неоднородные нормальные системы структура общего решения.

Нормальная система вида:

(1)

где f_i – непрерывные функции называемые неоднородными.

Теорема 1: если  решение неоднородной системы, а  решение соответствующей однородной системы, то так же есть решение неоднородной системы.

Доказательство.

что верно так как  решение неоднородной системы.

Теорема 2: общее решение  неоднородной системы есть сумма общего решения однородной системы и частного решения неоднородной системы  (2).

Доказательство.

Из теоремы 1 следует что (2) дает решение неоднородной системы. Покажем что функция (2) позволяет решить задачу Каши по начальным условиям.

где функции ,,…, образуют фундаментальную систему решений, С₁,С₂,…,С_n - произвольные постоянные.

подставим