Математика \ Математика

Система дифференциальных уравнений. Задача Каши. Нормальные системы ЛОДУ с постоянными коэффициентами, страница 6

Циркуляцией векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку вихря поля через поверхность натянутую на этот контур. Из формулы стокса следует равносильное определение .

Пусть  плоская площадка, содержащая данную точку перпендикулярно направлению n и L контур ограничивающий эту площадку.

Тогда  поля в точке определяется равенством:  проекция  на каждое направление равна приделу отношения циркуляции вдоль линии L площади  когда площадка  стягивается в точку.

Оператор Гамильтона. Потенциальное и соленоидальное поле. Операции второго порядка.

Введем символьный вектор набла

  1. Умножим  на скалярную функцию

  1. Умножим скалярно 2 вектора:

  1. Умножим векторно :

Вектор  называется оператором Гамильтона. Пусть поле  потенциально, т.е. существует функция U=U(x,y,z) называется его потенциалом, такая что

 т.е.

Посчитаем ротор этого поля:

поле потенциально.

Векторное поле, для которого  называется безвихривым. Условие потенциальности поля является равенство 0 его ротора ( ).  условие потенциальности для двумерного случая.

Докажем что эти условия эквивалентны.

 условие равенства  для двумерного случая.

Векторное поле  для которого  называется соленоидальным или трубчатым. Пусть  любая кусочногладкая поверхность.

, тогда

Пусть теперь поле соленоидально . Значит . Выберем вектор  касательным к поверхности  в любой точке.

Для соленоидального поля количество жидкости втекающей в трубку равно количеству вытекающей жидкости и поток через различные сечения одинаков. Пусть  какое либо поле, тогда его вихри образуют векторное поле . Посчитаем  - это смешанное произведение трех векторов два из которых равны. Такое смешанное произведение равно 0 по определению, т.е. поле  является соленоидальным полем.

Оператор Лапласа:

Теория функции комплексной переменной.

z=a+jb – алгебраическая

z=- тригонометрическая

- показательная

Заменим действительное число y комплексным числом z:

Говорят что на множестве точек изображающих значения комплексных переменных z определена функция,  если в каждой точке z этого множества поставлено соответствие: одно в случае однозначной функции, или несколько в случае многозначной функции – W, т.е. задание комплексной функции равносильно заданию двум зависимым U=U(x,y),

Основные элементарные функции комплексных переменных.

  1. Дробнорациональная:

- однозначная определена при всех z не являющимися корнями в знаменателе.

- рациональная функция.

  1. Гиперболическая:

  1. Логарифмическая функция

Если  то W называется логарифмом числа z

Пусть

Из-за многозначности argz логарифм является многозначной функцией. Lnz называется значением соответствующие k=0.

Пусть z=x действительное число,  в этом случае главное значение совпадает со значением обычной функции y=lnx.

k=0- главное значение получается при k=0, Lnx=lnx.

  1. Обратные тригонометрические функции.

Если z=sinW, то W называют arcsin числа z и обозначают W=arcsinz.

Пусть z действительное число, такое что - действительное число и , тогда все значения логарифма чисто мнимые, а все значения arcsinz – действительные.

Если z=cosW, то W называется arccosz и обозначает z=cosW.

W=arccosz.

Предел и непрерывность функции комплексной переменной.

Число  называется пределом f(z).  если для любой -окрестности в точке  можно найти -окрестность в точке , что для всех точек этой окрестности кроме  соответствующие значения функции f(z) будут принадлежать -окрестности в точке .

Если функция W=f(z) определена в  и в некоторой её окрестности и  существует и равен , то f(z) называется непрерывной в .

  1. Все теоремы справедливы для функций комплексных переменных.
  2. Непрерывность функции комплексной переменной равносильна непрерывности непрерывности двух функций двух действительных переменных.

Производная от функции комплексного переменного.

Пусть задана функция W=f(z). Дадим z=x+jy приращение , тогда W получит приращение .

Скачать файл