Математика \ Математика

Система дифференциальных уравнений. Задача Каши. Нормальные системы ЛОДУ с постоянными коэффициентами, страница 2

получена неопределенная система имеет единственное решение когда её определитель отличается от 0 что выполняется так как , а он не равен 0 каковы бы небыли начальные условия существует набор констант С1*,С2*,…,Сn*такие что начальные условия выполняются, т.е. (2) дает большое решение.

Для нахождения частного решения y* применяют метод Лагранжа вариации произвольных постоянных:

, тогда частное решение ищем в виде

это есть система уравнений относительно С'1(t),C'2(t),…,C'n(t) относительно этой системы есть определитель фундаментальной матрицы который не равен 0существует решение С'1(t),C'2(t),…,C'n(t).

Понятие об устойчивости.

Решением системы называют устойчивым по Лепунову в положительном направлении если оно непрерывно по t0 в интервале       

Геометрическая устойчивость означает, что все решения близкие в начальный момент к решению y(t) не выходят за пределы E трубки при всех

Если отклонение стремится к 0 при достаточно малых  то решение называется агентатически устойчивым  

Любое решение начинается в начальный момент в трубке неограниченно с течением времени приближается к y(t). Трубка радиуса  называется областью притяжения решений.

Кратные интегралы. Двойные интегралы.

Пусть на плоскости XOY задана область Д ограниченная линией L и функцией z=f(x,y) непрерывна в Д. Разобьем область Д линиями на n частей, часть  в каждой из площадок  возьмём точку  посчитаем в каждой точке  значение функции  и составим сумму:  это интегральная сумма для f(x,y) в области Д. Если f(x,y) в Д, то выражение  есть объем цилиндра с основанием  и высотой . Vn есть сумма объемов элементарных цилиндров равная объему ступенчатого тела.

Рассмотрим произвольную последовательность интегральных сумм ,,… при различных способах разбиения области Д, и пусть максимальный диаметр площадок стремится к 0 при .

Если существует придел последовательности интегральных сумм  и этот предел не зависит ни от способа разбиения тел на площадке, ни от , то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области Д.

Если f(x,y)0 в Д, то двойной интеграл есть объем тела ограниченного поверхностью z=f(x,y) плоскостью z=0 и цилиндрической поверхностью образующие которой параллельны оси OZ, а направляющей служит граница области Д.

Теорема 1: Двойной интеграл от суммы двух функций  равен сумме двойных интегралов от каждой функции отдельно.

Доказательство.

По определению

По определению предела

Теорема 2: Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла

Теорема 3: Если область Д разбить да 2 области без общих внутренних точек и функция f(x,y) непрерывна во всех точках области Д, то

Доказательство.

Т.К. при построении интегральной суммы разбиение области на площади произвольно, то разбивают так чтобы общая граница Д1Д2 являлась границей соответственных площадок.   переходя к пределу при  получаем доказываемое равенство.

Двукратный интеграл.

Пусть область Д обладает свойствами. Всякая прямая параллельная оси OY и проходящая через внутреннюю точку области пересекает её границу в двух точках. Такая область называется правильной в направлении оси OY.

Область Д называется правильной в направлении оси OX если всякая прямая проходящая через внутреннюю точку  области параллельной оси OX пересекает её границу в двух точках.

Область правильная в обеих направлениях называется просто правильная область.

         

Повторным или двукратным интегралом называется следующий интеграл:

При вычислении сначала считается внутренний интеграл по переменной y, x принимается const, потом интегрируется по x.

Свойства:

1)  Если правильная в направлении оси OY или OX Д разбить на две области Д1 и Д2 прямой параллельной OY или OX, то двукратный интеграл по Д будет равен сумме интегралов:  

Следствие: Если одни из функций  и  не может быть задана параметрически одним выражением на отрезке АВ, т.е. существует  такая что , то

Скачать файл