Система дифференциальных уравнений. Задача Каши. Нормальные системы ЛОДУ с постоянными коэффициентами, страница 11

Теорема: если f(t)=0, то F(p)=0 и обратно: если F(p)0, то f(t)0.\

Теорема линейности: пусть  и  функции оригиналы с индексами роста и , тогда для произвольных коэффициентов   имеет место соотношение:

 с полуплоскостью сходимости .

Теорема диффиринцирование оригинала: если вместе с f(t) её производной является функцией оригиналом, то

Доказательство.

По определению: .

Теорема интегрирования оригинала: если f(t) функция оригинал, то  так же функция оригинал и его изображение будет .

Доказательство.

Обозначим  и покажем что эта функция является функцией оригиналом. Пусть , оценим

Переведем в изображение:

Теорема подобия: если  произвольное число, то

Доказательство.

Теорема диффиринцирование изображения: если f(t)=F(p) и n натуральное число, то .

Доказательство.

Выпиши формулу для F(p) и продиффиринцируем её:

Теорема интегрирования изображения: если f(t)=F(p) и  функция оригинал, то , где интегрирование производится по кривой соединяющей точки p и  в полуплоскости сходимости оригинала .

Доказательство.

Пусть

Свертка.

Пусть функция f(t) и g(t) определены при всех t. Сверткой функции f(t) и g(t) называют функции .

Свойства:

1)Операция свертки коммутативна, т.е. обе части равенства имеют смысл.

Доказательство.

2)Для функций оригиналов f(t) и g(t) операция свертки всегда выполнима причем .

3)Свертка функции оригиналов f(t) и g(t) с индексом роста  и  так же функция оригинал, чей индекс роста не превосходит вилечены .

Доказательство.

Теорема умножения: если f(t)=F(p) g(t)=G(p), то F(p)G(p)=(f*g)(t).

Доказательство.

Теорема Дюамеля: если f(t) и g(t) и g'(t) функции оригиналы, то

Доказательство.

Изображение кусочно-линейной и периодической функции.

Кусочно-линейная:

Пусть  в точке разрыва функции f(t) или f'(t).  - скачек функции в узлах,  - скачек производной в узлах стыка, тогда .

.

Изображение периодической функции.

Пусть , где  - периодическая с периодом Т функция .

Нахождение оригиналов по изображению.

Если изображение  дробно-рациональная функция, то дробь раскладывается на простые дроби и для каждой простой дроби оригинал находится по таблице или используя свойства

Теорема разложения: пусть F(p) имеет в бесконечности правильную точку причем его разложение в окрестности бесконечности имеет вид: , тогда оригиналом является k(t)f(t), где  причем ряд сходится при всех t.

Теорема Жордана: пуст для  бесконечность правильная точка и  имеет на всей плоскости только конечное число изолированных особых точек .  дуга окружности расположенная в полуплоскости , тогда .

Вторая теорема разложения: если изображение есть дробно-рациональная функция , то оригиналом является  .

Доказательство.

.

Так как количество полюсов конечно, то все полюса находятся на большом расстоянии от нуля. Проведем прямую и дугу окружности такого радиуса что бы все полюса попали внутрь фигуры.

Устремим R к бесконечности, тогда .

Применение операционного вычисления для ДУ.

f(t) – функция оригинал.

y(t) – функция оригинал.

Пусть y(t)=Y(p), f(t)=F(p)

f(t) – входной сигнал

F(p) – изображение входного сигнала

y(t) – реакция или отклик системы на входной сигнал

Y(p) – операторный отклик

 - операторная проводимость или передаточная функция.

 - характеристическое уравнение.

Пусть B(p)0, тогда - операторный отклик равен умножению изображению входного сигнала на передаточную функцию. Определить реакцию системы на различные входные сигналы при различных начальных условиях.

V(t) – его решение,

Аналогично операционным методом решают системы ДУ.

Уравнения математической физики.

Уравнения колебания струны.

XOU – система координат, U – отклонение струны от положения равновесия.

, где х – абсцисса точки, t – время,  - угловой коэффициент к графику в точке с абсциссой х. При любом фиксированном t U(x,t) – это положение струны в момент времени t. При фиксированном х U(x,t) – закон движения точки с абсциссой х вдоль прямой параллельной OY.