Система дифференциальных уравнений. Задача Каши. Нормальные системы ЛОДУ с постоянными коэффициентами, страница 5

Рассмотрим замкнутый контур L из G.

 и следовательно криволинейный интеграл по замкнутому контуру равен нулю.

Пусть

Предположим противное:

Пусть в М из G

Т.к. производные функции непрерывные то их разность тоже непрерывная функция, поэтому разность будет так же положительная во всех точках некоторой малой окрестности D' содержащей точку М.

Рассмотрим

Наше предположение неверно.

Потенциал векторного поля.

Если во всех точках некоторой области М на плоскости задана скалярная функция z=z(x,y) то говорят что в области задано скалярное поле. Если же в каждой М некоторой области на плоскости поставлен в соответствии вектор,  то говорят что на плоскости задано векторное поле.

Векторное поле  называется потенциальным если оно является градиентом некоторой функции (). Функция U=U(x,y) называется потенциалом векторного поля.

Теорема: векторное поле  потенциально тогда и только тогда когда функции P и Q удовлетворяют условию:

Доказательство.

Необходимость: пусть существует потенциал такой что  получим

Достаточность:

y₀- ордината любой точки плоскости в которой задано векторное поле. Подберём  так чтобы

Поверхностный интеграл.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Прямая линия называется касательной к поверхности в некоторой точке P(x,y,z) если она является касательной к какой либо кривой принадлежащей поверхности и проходящей через P.

Теорема: пусть хотя бы одна из частных производных в точке P отлична от нуля, тогда все касательные к поверхности в точке P лежат в одной плоскости.

Такая плоскость называется касательной плоскостью поверхности 1 в точке P.

Прямая проведённая через P поверхности 1 перпендикулярна касательной плоскости называется нормалью поверхности. Направляющий вектор этой прямой называется вектором нормали к поверхности в точке P.

Определение поверхностного интеграла.

Пусть в пространстве задана поверхность,  в каждой точке которой задано положительное направление нормали и n единичный вектор направляющие cos которого есть непрерывная функция от (x,y,z).

Пусть задано,  где P,Q,R непрерывные функции. Разобьем поверхность,  каким либо способом на элементарные площадки  i=1,2,…,n

На каждой площадке возьмем точку  и составим сумму  (2) сумму называют интегральной суммой.

Если существует предел интегральной суммы (2) при max размере  и этот предел не зависит ни от способа разбиения поверхности ни от выбора точек,  то он называется поверхностным интегралом от скалярного произведения  и обозначается:

Если  есть скорость жидкости то  есть количество жидкости протекающей через  в направлении  за единицу времени, а поверхностный интеграл дает общее количество жидкости протекающей через  в положительном направлении нормали, поэтому поверхностный интеграл называется потоком векторного поля F через .

Если поверхность  разбить на части  то

Формула Остроградского-Гауса.

Пусть в пространстве задана правильная трехмерная область V ограниченная  и проектирующаяся в правильную область Д в плоскости XOY.

Рассмотрим внешнюю нормаль к поверхности .

Формула Остроградского-Гауса.

Определение дивергенции.

Дивергенцией векторного поля  называется выражение

- поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции поля по объему ограничивающую эту поверхность.

С помощью теоремы о среднем для тройного интеграла и формулы Остроградского можно дать другое определение дивергенции:  где - объем бесконечно малой области содержащеё данную точку  поверхность ограничивающая этот объем, т.е. div является плотностью потока векторного поля точки в которых -называется источник, а -называется сток.

Формула Стокса.

Пусть в пространстве задана кривая L и поле . Причем P,Q,R непрерывны вместе со своими частными производными 1 порядка.

Рассмотрим циркуляцию поля:

Ротором или вихрем поля  называется вектор: