Методы математической статистики, применяемые в практике измерений. Подготовка массива результатов измерений для статистической обработки. Вариационный ряд, страница 6

В п. 2.6 приводится пример применения плотности распределения χ²(n-1) для определения по результатам многократных измерений верхней границы σ_в среднеквадратического значения погрешности однократного измерения (пример 2).

3.3.4. Доверительный интервал для интервала J_P, в котором содержится Р-ая доля всех возможных значений случайной составляющей погрешности результатов измерений или средств измерений

Задача состоит в том, чтобы построить доверительный интервал (P, Q), который должен накрывать действительный интервал J_P с вероятностью Q, то есть

Границы доверительного интервала (P, Q) для J_P называются толерантными пределами. И по аналогии с п. 3.2.1. мы рассмотрим методы построения параметрических и непараметрических толерантных пределов. Параметрические толерантные пределы могут быть построены при условии, что плотность распределения случайной составляющей погрешности нормальна. Непараметрические толерантные пределы не зависят от вида плотности распределения, но за это требуют увеличения объема выборки, то есть увеличения трудоемкости.

Следует заметить, что с помощью толерантных пределов оценивается характеристика случайной составляющей погрешности результатов однократных измерений и что с увеличением объема выборки ширина доверительного интервала (P,Q) к нулю не стремится, его границы (толерантные пределы), сближаются друг с другом и приближаются к границам интервала J_P извне.

Поскольку погрешности нормируются и представляются интервалами J_P, симметричными относительно нуля (см. п.п. 3.4, 3.5), то доверительные интервалы для них будут также симметричными.

3.3.4.1. Параметрические толерантные пределы

Параметрические толерантные пределы для случайной составляющей погрешности результата измерений или средства измерений суть границы интервала:

(P, Q) = [-sk(n,P,Q), sk(n,P,Q)],      (3.25)

где s - оценка σ, вычисляемая по формуле (3.17), k(n,P,Q) - толерантный множитель, таблица значений которого приведена в книге Л.Н.Большев, Н.В.Смирнов "Таблицы математической статистики" .-М: ВЦ АН СССР, 1968 г.

Ниже в таблице 3.3 приведены значения толерантного множителя для Р=0.95 применительно к настоящему циклу лабораторных работ.

Таблица 3.3

Толерантный множитель к(n, 0.95, Q)

Пользуясь выражением для симметричных интервалов, которое было введено выше в п. 3.2.2 и допускается к использованию метрологическими нормативными документами, запишем интервал (P, Q)  в виде          s-K(n,P,Q) .

Фактически здесь получена верхняя граница  доверительного интервала для полуширины g симметричного интервала Jp (то есть, для доверительной погрешности), который определен формулами (2.6), (2.9): g=sk(n,P,Q). Из сравнения полученной интервальной оценки с точечной оценкой (3.12) видно, что всегда . Этого следовало ожидать, поскольку оценка, полученная здесь, дает право записать равенство

В случаях, когда по обоснованным соображениям даже при существенной случайной составляющей погрешность средства измерений нормируется без разделения на систематическую и случайную составляющие (см. п. 2.4 и рис.2.8), в качестве оценки  полуширины интервала J_P, показанного на рис. 2.8, принимают наибольшее по модулю значение (см. также формулу (3.19)):

          (3.26)

В указанных случаях оценка такого интервала J_P есть симметричный относительно начала координат интервал (P, Q)  = [-_max ,+_max]

3.3.4.2. Непараметрические толерантные пределы