Методы математической статистики, применяемые в практике измерений. Подготовка массива результатов измерений для статистической обработки. Вариационный ряд, страница 4

J_P = [-q • s , +q • s] ,  g = q • s , где q - множитель, зависящий от значения вероятности Р и от вида закона распределения погрешности.

В случаях, когда по обоснованным соображениям даже при существенной случайной составляющей погрешность средства измерений нормируется без разделения на систематическую и случайную составляющие, в качестве оценки g полуширины интервала J_P, то есть доверительной погрешности (см. п. 2.4 и рис. 2.8) принимают наибольшее по модулю значение:

-          при непараметрическом оценивании

g_max =max[|Δ_(l+k)|,| Δ _(n-r)|]      (3-18)

-          при параметрическом оценивании

g_max =max [| -qs|,  +qs|],           (3.19)

В указанных случаях оценка интервала J_P есть симметричный относительно начала координат интервал p=[-_max,+ _max], показанный на рис. 2.8. Метрологические нормативные документы допускают запись подобных интервалов в виде ±_max

3.3. Интервальное статистическое оценивание

3.3.1. Понятие о доверительных интервалах

Недостаток точечных оценок заключается в том, что они не дают никакой информации о том, насколько далеки эти оценки от действительных значений искомых характеристик. Гораздо более полную информацию о действительных значениях оцениваемых величин и характеристик содержат интервальные оценки, каковыми являются границы доверительных интервалов.

Доверительный интервал - интервал, который накрывает действительное значение оцениваемой величины с заданной вероятностью Q.

Вероятность Q называется доверительной вероятностью и назначается в пределах от 0.8 до 0.95 в зависимости от условий каждой конкретной задачи.

Слишком малое значение доверительной вероятности снижает доверие к результатам измерений. С другой стороны, слишком большое значение доверительной вероятности приводит к существенному расширению доверительного интервала, и в пределе при Q = 1 доверительным интервалом оказывается вся ось вещественных чисел, ибо в условиях действия случайных факторов об оцениваемой величине наверняка можно предположить лишь, что ее значение лежит где-то на числовой оси.

Границы доверительных интервалов случайны, поскольку они не могут быть определены иначе, чем путем обработки данных, возмущенных действием случайных факторов. В связи с этим доверительный интервал можно интерпретировать, как некий отрезок случайной длины, брошенный случайным образом на числовую ось так, что он накрывает действительное значение оцениваемой величины с доверительной вероятностью Q.

В представленном цикле лабораторных работ нас будет интересовать задача построения доверительных интервалов:

-  для значения измеряемой величины (на языке математической статистики - для математического ожидания результатов многократных измерений),

-  для значения систематической составляющей погрешности средства измерений (для математического ожидания погрешности средства измерений),

-  для среднеквадратического значения случайной составляющей погрешности результата измерения или погрешности средства измерения

-  для интервала J_P, в котором содержится не менее Р-ой доли всех возможных значений случайной составляющей погрешности результатов измерений или средств измерений.

3.3.2. Доверительные интервалы для значения измеряемой величины и для систематической составляющей погрешности средства измерений

Точечная оценка математического ожидания результатов многократных измерений неизменяющейся измеряемой величины является оценкой суммы истинного значения измеряемой величины х и систематической погрешности Δ_сх (см. также п.п. 2.1, 2.3)

Если плотность распределения случайной составляющей погрешности измерений есть плотность нормального распределения или близка к ней, то границы доверительного интервала, накрывающего действительное значение суммы х+Δ_сх с вероятностью Q, вычисляются по формулам

(3.20)

где   и s – оценки, вычисляемые по формулам п. 3.2.1,