Методы математической статистики, применяемые в практике измерений. Подготовка массива результатов измерений для статистической обработки. Вариационный ряд

3. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ПРАКТИКЕ ИЗМЕРЕНИЙ

В инструментальном арсенале измерительных технологий и метрологических операций важное место занимают методы математической статистики, которые применяются для обработки результатов многократных измерений, содержащих случайные погрешности. Ниже представлены наиболее распространенные статистические методы, которые используются в настоящем цикле лабораторных работ для решения следующих задач:

-  определение характеристик погрешности средств измерений, перечисленных в п. 2.4, по экспериментальным данным,

-  уменьшение влияния случайных погрешностей и помех на результаты измерений,

-  определение характеристик случайной составляющей погрешности результатов рабочих измерений по результатам многократных измерений, в том числе, идентификация плотности распределения случайной составляющей погрешности,

-  определение статических характеристик преобразования измерительных преобразователей по результатам экспериментов,

-  аппроксимация функциональных зависимостей между измеряемыми величинами.

Реально круг задач современных измерительных информационных технологий и метрологической практики, решение которых невозможно без привлечения аппарата математической статистики, гораздо шире.

3.1. Подготовка массива результатов измерений для статистической

обработки

3.1.1. Вариационный ряд

Пусть в результате n измерений величины х получен массив х,,х2,...,х_n, который на языке математической статистики называется выборкой, элементы этого массива называются выборочными значениями измеряемой величины, а их количество - объемом выборки.

Вариационный ряд образуется путем перестановки исходного массива результатов многократных измерений в порядке их возрастания. Такая перестановка получается естественным путем при нанесении результатов на числовую ось. Элементы нового массива получают новые порядковые номера, и эти новые номера заключаются в круглые скобки:

Х₍₁₎, Х₍₂₎ ……Х_(n).                    (3.1)

При экспериментальном определении характеристик погрешности исходным массивом является массив выборочных значений погрешности Δ₁,Δ₂,….. Δ_n,из которых составляется вариационный ряд

Δ₍₁₎,Δ₍₂₎,….. Δ_(n)                           (3.2)

Первый и последний члены вариационного ряда называются крайними членами вариационного ряда. Полусумма крайних членов вариационного ряда называется срединой размаха выборки:

Х_ср=(Х₍₁₎,+Х_(n))/2   или   Δ _ср=( Δ ₍₁₎,+ Δ _(n))/2

Средний по положению член вариационного ряда называется выборочной медианой. При нечетном n выборочной медианой для (3.1) и (3.2) является

      или        соответственно.

Вариационный ряд является основой для построения выборочной функции распределения.

3.1.2. Выборочная функция распределения

Выборочные функции распределения  и  являются оценками функций распределения измеряемой величины х, возмущенной случайными погрешностями, и погрешности δ средства измерений соответственно. Выборочные функции распределения строят с целью идентификации генеральной функции распределения F(x) или F(Δ). В дальнейшем, если иное не будет оговорено особо, мы будем пользоваться только одним обозначением аргумента функции распределения, поскольку все рассуждения и математические вы кладки одинаковы для любых аргументов.

Математическое описание выборочной функции распределения соответствует описанию функции распределения, приведенному в п. 2.3:

                     (3.3.)

где  - количество членов вариационного ряда, значение которых не превосходят х.

Пример графика выборочной функции распределения приведен на рис. 3.1. Из этого графика видно, что выборочная функция распределения есть неубывающая ступенчатая функция с областью изменения [0,1]. Она возрастает скачком в каждой точке х = x_(i). Размер каждого скачка одинаков и равен 1/n.

3.1.3. Гистограмма

Статистической оценкой генеральной плотности распределения φ(х) или φ(Δ) служит гистограмма  или  соответственно, которая строится по выборочным данным в виде кусочно-постоянной функции. В дальнейшем, как и для выборочной функции распределения, мы будем использовать только одно обозначение аргумента, если иное не будет оговорено особо. Пример гистограммы приведен на рис. 3.2. Гистограмма состоит из прямоугольников, построенных на полуоткрытых отрезках (x_k,x_k+1] равной длины Δх = x_k+1-x_k как на основаниях. Высота каждого к-ого прямоугольника должна быть такой, чтобы его площадь была равна n_k/n, где n_k - количество выборочных значений, попавших в k-ый отрезок (x_k,x_k+1] оси х. Общее количество этих отрезков - К. Для построения гистограммы необходимо разделить интервал между наименьшим и наибольшим выборочными значениями на отрезки равной длины таким образом, чтобы минимальное количество выборочных значений, находящихся внутри какого-либо из отрезков, было равно от 3 до 5. Если количество выборочных значений внутри к-го отрезка обозначить через n_k, то высота прямоугольника, который нужно построить на этом отрезке, как на основании, равна