Методы математической статистики, применяемые в практике измерений. Подготовка массива результатов измерений для статистической обработки. Вариационный ряд, страница 2

                     (3.4.)

В этом случае площадь фигуры, заключенной между гистограммой и осью абсцисс, будет равна 1, как это и следует из свойств плотности распределения вероятностей (см. формулу (2.3) п. 2.3), оценкой которой является гистограмма.

3.2. Точечное статистическое оценивание значения измеряемой величины и характеристик погрешности

3.2.1. Оценки значения измеряемой величины и характеристик погрешности результатов измерений

Как показано в п. 2.1 и на рис. 2.2, при наличии случайной составляющей погрешности измерений значение неизменной во времени измеряемой величины в сумме с систематической составляющей погрешности представляет собой математическое ожидание случайной величины, в качестве которой выступает сумма измеряемой величины и погрешности измерений. Наиболее распространенной точечной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое значение выборочных данных:

                                 (3.5)

В ряде случаев полезными оценками математического ожидания могут служить выборочная медиана x_med или средина размаха выборки х_ср (см. п.3.1.1).

Оценка математического ожидания может быть вычислена и по гистограмме:

                          (3.6)

где x_k- середины интервалов, на которых построена гистограмма (см. рис. 3.2).

Эта оценка экономичнее в отношении трудоемкости вычислений, но качество ее хуже, ибо за счет группирования данных часть информации теряется.

При отсутствии систематической составляющей погрешности измерений среднее арифметическое значение есть оценка значения измеряемой величины.

Перейдем теперь к оцениванию характеристик погрешности результатов измерений, перечисленных в п.п. 2.1, 2.3.

Если все повторные измерения выполняются независимо друг от друга, то оценка sсреднеквадратического значения а случайной составляющей погрешности результата каждого одиночного измерения вычисляется по формуле

                (3.7)

Эта оценка может быть вычислена и по гистограмме:

                (3.8)

Точечные оценки границ интервала Jр, в котором содержится не менее Р-ой доли всех возможных значений случайной составляющей погрешности, определяются по выборочной функции распределения. На рис. 3.1 показан пример определения границ интервала Jp, для Р=0.7, который содержит 70% значений случайных погрешностей измерений. Из рисунка видно, что точечными оценками границ подобных интервалов для любых значений Р всегда будут выборочные значения, они же - члены вариационного ряда

[x_(k),x_{n-r)]                 (3.9)

Если сдвинуть этот интервал по оси абсцисс на значение оценки х, получим искомые точечные оценки границ интервала Jp только для случайной составляющей погрешности однократных измерений:

Jp=[x_(k)-x,x_{n-r)-x]                 (3.10)

Из этого же рисунка видно также, что для уверенного определения границ интервала J_P, соответствующего вероятности Р, достаточно близкой к 1, необходимо, чтобы величина скачков выборочной функции распределения была не больше значения (1-Р)/2: 1/n≤(1-Р)/2, откуда следует, что количество измерений, которые для этого требуется выполнить, должно удовлетворять условию:

n≥2/(1-P)                 (3.11)

Например, если Р=0.95, то n > 40. Такое значительное количество измерений есть "плата" за то, что здесь не используется такая богатая информация, как информация о плотности распределения вероятностей случайной составляющей погрешности. Если же вид этой плотности распределения известен, то точечные оценки искомых границ можно получить при меньшем объеме выборки, достаточном для точечной оценки среднеквадратического значения погрешности. В этих условиях для плотностей распределений, приведенных в п.п. 2.3.1- 2.3.4, и вероятности Р=0.95 можно записать:

-          для плотности нормального распределения

g=1.96s,   J_0,95 = [-1.96s,+1.96s],      (3.12)

-          для плотности равномерного распределения