Доказательство. Согласно (3), (5), вершины с нулевыми оценками по всем критериям являются доминирующими на графах подобия Tv, Sm. Согласно (1), (2), такая доминирующая вершина имеется как в графе Tv. так и в графе Sm, причем вектору `Civ соответствует вектор `Oiv. Следовательно, на пересечении v-ro столбца и i-й строки матрицы Мвозникает клетка D1/D1, что и требовалось доказать.
В общем случае необходимый результат устанавливает следующая теорема.
Теорема 2. При непротиворечивости линейных порядков `Tv, `Sm (v, m=1, 2, ..., л) в матрице `М всегда найдется хотя бы одна клетка D1/D1.
Доказательство. Пусть вершина `Ovl графа`S1 имеет индекс D1. По предположению, вершина `C1v графа `Tv не имеет индекса D1 (иначе на пересечении 1-й строки и v-ro столбца была бы клетка D1/D1.). Пусть в графе `Tv индекс D1 имеет вершина `Civ. По предположению, вершина `Ovi, графа `Si не имеет индекса D1.Пусть в графе `Si индекс D1 имеет вершина `Oji. По предположению, вершила `Cij графа `Tj не имеет индекса D1. Пусть в графе `Tj, индекс D1, имеет вершина `Cij. Тогда из изложенного выше следует:
`O1v®`C1j (22)
`Civ®`C1v
(23)
`Oj1®`Ov1 (24)
`C1j®`Cij (25)
Из (22) — (24) следует, что в линейном порядке, построенном для С1 объект Ov находится выше объекта Oj; в линейном порядке, построенном для Ov , субъект Сi находится выше, чем С1; в порядке, построенном для Сi, объект Oj находится выше, чем Ov. Отсюда можно сделать вывод, что в порядке, построенном для Oj, субъект Сi должен быть выше, чем С1. Однако из (25) следует противоположное. Легко увидеть, что противоречие исчезает, если допустить существование клеткиD1/D1 хотя бы на одном из пересечений строк С1;Сi и столбцов Ov;Oj.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.