Асноўнаю задачай дыферэнцыяльнага злічэння ёсць знаходжанне вытворнай дадзенай функцыі. Пры разгледжанні многіх пытанняў як матэматыкі, так і яе дасдасаванняў узнікае адваротная задача: для дадзенай функцыі знайсці такую функцыю , каб . Аднаўленне функцыі па зададзенай яе вытворнай ёсць асноўная задача інтэгральнага злічэння.
1° Азначэнне нявызначанага інтэграла.
def. Дыферэнцавальная на інтэрвале Х функцыя называецца першаіснаю для функцыі на Х, калі .
□ 1)(Неабходнасць). Няхай ёсць першаісная для , г. зн. і , або . Згодна з тэарэмаю пра супаданыя вытворныя .
2)(Дастатковасць). Няхай . Паколькі , то
, г. зн. – першаісная для . ■
Такім чынам, для дадзенай функцыі яе першаісная вызначаецца неадназначна, менавіта з дакладнасцю да сталага складніка. Для таго каб з сям’і першаісных вылучыць пэўную першаісную , дастаткова задаць пункт , які належыць графіку функцыі .
def. Калі ёсць першаісная для на інтэрвале Х , то сукупнасць першаісных для называюць нявызначаным інтэгралам ад функцыі на Х і абазначаюць
. (1)
У гэтым абазначэнні знак называецца знакам інтэграла, – падінтэгральнай функцыяй, а – падінтэгральным выразам. Аперацыю знаходжання нявызначанага інтэграла ад дадзенай функцыі называюць інтэграваннем. Яна ёсць адваротная да аперацыі. дыферэнцавання.
Падінтэгральны выраз можна запісваць некалькімі спосабамі
. (2)
2° Уласцівасці нявызначанага інтэграла.
1º.
□ ■
2º.
□ ■
3º.
□ Паколькі , то . З друго-га боку . Правыя часткі апошніх дзвюх роўнасцяў супадаюць, калі . Паколькі , то па зададзеным ліку можна знайсці лік і, наадварот, па зададзеным ліку можна знайсці лік . ■
4º. .
□ Калі , то
. ■
З уласцівасцяў 3º. і 4º. вынікае, што аперацыя інтэгравання мае ўласцівасць лінейнасці:
.
На падставе табліцы вытворных атрымаем табліцу нявызначаных інтэгралаў:
|
1º. Метад падстановы.
У многіх выпадках увядзенне новай зменнай інтэгравання дае магчымасць звесці вылічэнне дадзенага інтэграла да табліцавага. Такі метад інтэгравання называецца метадам падстановы або метадам замены зменнай і выкарыстанне яго грунтуецца на наступнай тэарэме.
(1)
□ Дастаткова паказаць, што ёсць першаісная для падінтэгральнай функцыі. Паводле правіла дыферэнцавання складанай функцыі маем
. ■
Формулу (1) называюць формулай замены зменнай у нявызначаным інтэграле. Для яе практычнага выкарыстання больш зручным з’яўляецца наступны яе запіс
(2)
прычым пры гэтым кажуць, што выкарыстоўваецца метад паднясення пад дыферэнцыял.
Такім чынам, у табліцы інтэгралаў зменную інтэгравання х можна разглядаць як функцыю ад іншай зменнай.
►
або адразу ◄
► . ◄
►
◄
2º. Метад інтэгравання часткамі.
. (3)
□ Адпаведна правілу дыферэнцавання здабытку маем , адкуль . Паколькі для функцыі існуе першаісная, а для функцыі першаіснай з’яўляецца , то функцыя таксама мае першаісную, а таму
Канстанта С улучана ў нявызначаны інтэграл . ■
Формулу (3) звычайна выкарыстоўваюць у больш простым выглядзе
(4)
►◄
► ◄
Іншы раз формулу інтэгравання часткамі даводзіцца выкарыстоўваць некалькі разоў.
►
◄
1) у інтэгралах ад функцый бяруць – астатні выраз;
2) у інтэгралах ад функцый бяруць – астатні множнік;
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.